Методика развития количественных представлений у дошкольников в период счетной деятельности (с пятого года жизни)
Татьяна Скрягина
Методика развития количественных представлений у дошкольников в период счетной деятельности (с пятого года жизни)
МЕТОДИКА РАЗВИТИЯ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У ДОШКОЛЬНИКОВ В ПЕРИОД СЧЕТНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
(С 5-ГО ГОДА ЖИЗНИ)
Анализ программных задач
1. Познакомить с приемами счета предметов.
2. Познакомить с приемами счета с помощью различных
а) счет по образцу;
б) счет по названному числу;
в) счет по цифровому изображению;
г) счет на слух;
д) счет на ощупь;
е) счет движений.
3. Показать принцип построения натурального ряда (л±1):
а) образование соседних чисел;
б) сравнение соседних чисел («больше», «меньше»).
4. Научить сравнивать множества на основе счета.
5. Показать абстрактность числа (независимость от качественных признаков предметов и пространственного расположения множества):
а) независимость числа от размеров предметов;
б) Независимость числа от расстояния между предметами;
в) независимость числа от формы расположения предметов;
г) независимость числа от направления количественного счета.
6. Познакомить с порядковым счетом.
7. Познакомить с обратным счетом.
8. Познакомить с цифрами.
Методика обучения счету предметов (задача 1)
Предварительная работа
Работа с множествами, их сравнение способами наложения и приложения подготавливает детей к счетной деятельности, так как им легче сначала научиться устанавливать взаимно однозначные соответствия между предметными множествами, которые видимы и ощутимы (мышление — наглядно-действенное).
Счет — это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда (числами — абстрактным математическим понятием).
Особенности наглядного материала
В начале обучения необходимо использовать множества из объемных одинаковых предметов (до которых легко дотрагиваться, расположенных в ряд (линейно, горизонтально, «слева направо»).
Затем можно использовать множества из разных элементов, картинки, геометрические фигуры и др. и раскладывать их по-разному.
Методика обучения
Счетная деятельность — это называние числительных по порядку и соотнесение их каждому элементу множества с выделением итогового числа.
Цель счетной деятельности — найти итоговое число, ответить на вопрос «сколько?».
Обучаем ребенка приемам счета предметов по образцу («делай, как я», сначала отрабатывая выполнение правил, а после их усвоения отменяя внешние жесты. Работа ведется на большом разнообразии наглядного материала. Вне занятий закрепляются и применяются счетные навыки.
Правила счета Ошибки детей
1. Называть числительные по порядку, начиная со слова «один» Называют числительные не по порядку, начинают со слова «раз»
2. Дотрагиваться до каждого предмета веду-щей рукой (обычно правой) слева направо (ведущее направление в нашем обществе) Пропускают предметы, дотрагиваются до одного предмета дважды, справа налево и др.
3. Одному предмету соотносить только одно число Считают свои движения, а не предметы, нет координации между словом и движением
4. В конце сделать обобщающий жест и еще раз назвать последнее число («всего пять предметов») Не выделяют итогового числа («безытоговый счет», не могут ответить на вопрос «сколько?»
Эти правила необходимы, чтобы ребенок понял сущность счета, а воспитатель смог предупредить или выявить ошибки (в чете, а не в правилах).
По мере усвоения ребенком счетной деятельности надо счетные движения «сворачивать». Они переходят из «внешних» действий во «внутренние» (умственную работу):
• счет без обобщающего жеста;
• дотрагиваться не рукой, а указкой или показывать на предмет;
• счет на расстоянии (движение глаз);
• счет про себя.
После усвоения счета предметов переходим к счету других объектов (изображений, символов, движений, звуков, явлений и др.).
«считай» — назови числительные по порядку;
«посчитай» — ответь на вопрос «сколько всего?»;
«отсчитай» — выдели часть;
Методика обучения счету с помощью различных анализаторов (задача 2)
Предварительная работа
После выработки навыков счета предметов показываем детям, что считать можно все что угодно. Этим подводим их к пониманию абстрактности числа. Используя при счете различные анализаторы, оказываем положительное влияние на развитие сенсорных способностей детей.
Укажите, при каком счете, какой анализатор преимущественно задействуется.
Зрительный Тактильный Слуховой Двигательный
Счет по образцу (задача 2-а)
• Наборы одинаковых предметов.
• Демонстрационный материал для фланелефа, наборного полотна, магнитной доски (картинки, геометрические фигуры).
• Раздаточный материал (картинки, геометрические фигуры).
• Наборы «Учись считать».
• Карточки с числовыми фигурами сюжетными и
бессюжетными (например, карточки Лая).
Методика обучения
Инструкция дается небольшими порциями, по мере выполнения задания. Результат проговаривается с помощью воспитателя.
— Что нужно сделать, чтобы узнать, сколько?
— Отсчитай столько, сколько….
Инструкция дается целиком, в последовательности выполнения задания. Результат обговаривается при помощи воспитателя.
— Посчитай, сколько, и отсчитай столько же ….
Инструкция дается целиком в свободной форме.Ребенок сам должен продумать последовательность действий: посчитать, отсчитать, пересчитать (планирует) и дать словесный отчет о выполнении (анализирует).
— Отсчитай столько О, сколько у меня П.
— Расскажи, что у тебя получилось и почему так.
1. Увеличиваем количество от 1 до 10.
2. От реальных предметов переходим к их изображениям и числовым карточкам (сюжетным и бессюжетным).
3. Меняем форму расположения предметов (горизонтально, вертикально наискосок, по кругу, в виде числовой фигуры, хаотично)
5. Даем упражнения для отвлечения от пространственного расположения предметов (выложи столько же, но в ряд; покажи числовой карточкой, сколько у меня предметов)
6.Даем задания для повторения отношений соседних чисел: отложи на 1 больше.
«Остановись стрелка». (На часах с числовыми фигурами вращается стрелка. По сигналу она останавливается. Дети должны выполнить задание в соответствии с числом, которое показывает стрелка, например принести столько мячей.);
«Поручения». («Принеси столько
«Магазин». (Числовые карточки играют роль ценников, а геометрические фигуры роль монет.)
Счет по названному числу (задача 2-6)
Счет по названному числу дается только после усвоения приемов счета и выработки навыков счета по образцу. Проводится большая индивидуальная работа с целью помочь тем, кто не справился с заданием, проверить и проговорить результат с каждым ребенком.Применяется в различных видах заданий:
— Отложи пять кругов. (Применение навыков отсчитывания.)
— Отложи пять кругов и еще один. Сколько получилось? (Знакомство с образованием соседних чисел.)
— Отложи кругов на один больше, чем число, которое я назову. (Повторение отношений между числами, понятий «больше на.».)
После выполнения задания обязательно его проанализировать:
Счет по цифровому изображению (задача 2-в)
Счетпо цифровому изображению начинается после знакомства детей с цифрами и используется в различных видах заданий:
— Отложи столько [7] квадратов.
— Покажи цифрой, сколько у меня грибов.
— Покажи цифрой, на сколько пять меньше шести.
— Подпрыгни столько 5 раз.
Счет на слух (счет звуков) (задача 2-г)
Особенности наглядного материала
Рекомендуемые музыкальные инструменты: барабан, металлофон, свисток, пианино, камертон, дудка. Можно использовать стук, хлопки, топот.
Замечание:не дают четкого одинокого звука: бубен, погремушка, колокольчик, гармошка.
Методика обучения
Дети трех-четырех лет учатся различать «один» и «много» звуков. Дети видят воспитателя и воспроизведение звука. Одному звуку соотносится действие (например, появление игрушки).
Воспитатель ударяет в барабан один раз и ставит на стол одну игрушку. Один звук — одна игрушка, так несколько раз.
— Сколько звуков услышали?
— Сколько игрушек появилось?.
Затем вызванный ребенок ударяет в барабан, сколько хочет раз. Воспитатель убирает соответствующее количество игрушек (одну или много).
— Сколько звуков услышали?
— Сколько игрушек убрали?
Дети четырех-пяти лет учатся считать до пяти звуков. Дети видят воспитателя и видят воспроизведение звука. Задания даются поэтапно по мере выполнения.
— Посчитай, сколько звуков.
— Отсчитай столько же предметов.
Дети пяти-шести лет считают до десяти звуков. Дети видят воспитателя, но не видят воспроизведение звуков (например, используем ширму). Инструкция дается целиком, но в последовательности выполнения заданий, с напоминанием действий.
Посчитайте, сколько звуков услышите, и отложите столько же кругов.
Посчитали? А теперь откладывайте.
Сколько отложили? Почему столько?
Детям шести-семи лет инструкция дается целиком в свободной формулировке. Свою деятельность дети планируют и анализируют сами.
Отложите столько квадратов, сколько звуков услышите.
Расскажите, что и как вы сделали.
Увеличиваем количество звуков от 1 до 10.
Уменьшаем интервалы между звуками.
Издаются звуки разные по силе, тону, из разных инструментов.
Дети не видят воспитателя и источник воспроизведения
звука (например, воспитатель за спинами детей, или дети с закрытыми глазами, или используем магнитофонную запись).
Даем задания, связанные со знанием отношений между
числами,например: «Отложи кругов на один больше, чем звуков
«Помоги бычку попасть домой» (Бычок потерялся и не может попасть домой. Он встречает в лесу зверюшек (мышку, лягушку, собаку, кошку и др., которые обещают ему помочь, если он правильно выполнит их задание. Например,Лягушка: «Промычи столько раз, сколько раз я проквакаю». Дети могут играть роли зверей или игра разыгрывается на игрушках или картинках.) и др.
Счет на ощупь (задача 2-д) Особенности наглядного материала
Объемные предметы, знакомые детям (например, кубики, пуговицы, камешки, желуди).
Счетные карточки, с пуговицами или дырочками в чехлах из плотной ткани, которые снимаются.
Методика обучения
Детям четырех-пяти лет сначала предлагаем считать крупные объемные предметы под салфеткой или в мешочке (до пяти).Фрагмент:
— Посчитай, сколько кубиков под салфеткой, не подсматривая, и поставь на стол столько же пирамидок.
— Сколько поставил? Почему столько?
— Открой салфетку, проверь.
Знакомим со счетными карточками. Пуговицы или дырочки на карточке диаметром 3—4 см расположены в один ряд до пяти штук.
1)показываем способ действия: ведущей рукой вести по карточке слева направо или сверху вниз, другой рукой придерживать карточку;
2) предлагаем вызванному ребенку посчитать самостоятельно
с последующей проверкой;
3) предлагаем каждому ребенку посчитать свой образец и
проверить себя, сняв чехол.
Дети пяти-шести лет считают мелкие предметы (орехи, желуди, камешки, пуговицы, перекладывая их из руки в руку за спиной. Используем счетные карточки с пуговицами или дырочками диаметром около 1 см, расположенными в два ряда (до 10 штук, с чехлами из более плотной ткани.
1. Увеличиваем количество от 1 до 10.
2. Уменьшаем размеры предметов.
3. Увеличиваем темп выполнения задания.
«Передай и посчитай» (Дети становятся в круг и за спинами передают счетные карточки без чехлов. По сигналу каждый считает пуговицы на своей карточке. Выигрывает тот, у кого больше число.) и др.
Счет движений (задача 2-е)
Методика обучения
— Посчитай, сколько раз Маша присела.
— Посчитай, сколько раз я махну флажком.
Счет движений используется обычно в комбинированном счете, сочетаясь с другими видами счетной деятельности.
Сюжетно-ролевые игры детей пятого года жизни Значение сюжетно – ролевых игр в воспитании дружеских отношений детей пятого года жизни. Пятый год жизни – период интенсивного роста и развития.
Конспект совместной изобразительной деятельности для детей пятого года жизни «Зайка беленький грустит» Конспект совместной деятельности для детей пятого года жизни: Цель: «Активизация творческого потенциала каждого ребёнка» Задачи: 1. Учить.
Формирование словообразовательных умений у детей пятого года жизни Словообразование – это раздел языкознания, который изучает все аспекты создания, функционирования, строения и классификации производных.
Конспект итоговой непосредственно-образовательной деятельности по ФЭМП для детей пятого года жизни Конспект итоговой непосредственно-образовательной деятельности Тема: «Космическое путешествие» Цель: определить уровень усвоения учебного.
Конспект ННОД для детей пятого года жизни «Покормим цыплят» (средняя группа) Конспект ННОД для детей пятого года жизни Средняя группа «Покормим цыплят» Образовательная область: познание (формирование элементарных.
Конспект занятия по социально-нравственному развитию дошкольников пятого года жизни Муниципальное бюджетное дошкольное образовательное учреждение «Детский сад общеразвивающего вида с приоритетным осуществлением деятельности.
Консультация «Развитие речи детей пятого года жизни» Развитие речи детей пятого года жизни. Речь не передаётся по наследству, малыш перенимает опыт речевого общения у окружающих его взрослых.
Педагогический опыт воспитателя. «Воспитание умения организовать самостоятельную игровую деятельность детей пятого года жизни» Актуальность опыта. Все мы хотим, чтоб дети к нам приходили умные, послушные, активные творческие, но к сожалению таких детей, с каждым.
Совместная деятельность детей пятого года жизни Средняя группа «Вагончик» Конспект совместной деятельности для детей пятого года жизни: Цель: «Воспитывать уважение детей к профессиям» Задачи: 1. Учить рассуждать.
Методика обучения счёту с участием анализаторов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ СЧЁТУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
В средней группе наряду с опорой на зрительное восприятие важно упражнять детей в счёте множеств, воспринимаемых на слух, ощупь, учить их вести счёт движений.
Счёт при восприятии множества на слух или путём осязания становится более осмысленным: дети лучше усваивают значение итогового числа, суммирующего звуки, воспринятые последовательно; они начинают лучше понимать сущность счётной операции.
В старшем возрасте детям необходимо показать, что множества по своей природе различны: кукование кукушки, падающие капли, раскаты грома, бой часов, пульс, физические упражнения. Поэтому уметь считать нужно в практической деятельности.
Упражнения в счёте с помощью различных анализаторов не только упражняют сами анализаторы, но и обеспечивают развитие межанализаторных связей в деятельности коры головного мозга. Счетная деятельность обобщается, становится применимой в любых условиях.
Методика обучения счёту «на ощупь».
Пособия: карточки размером 12х4, на которые пришиваются пуговицы от 1 до 5 штук в один ряд; дощечки с отверстиями; игрушки под салфеткой, в мешочке. В старшей группе пуговицы нашивают в два ряда от 6 до 10 штук, они более мелкого размера. Старшие дети могут считать мелкие предметы, перекладывая их из руки в руку.
Воспитатель показывает новый способ действия: держим карточку левой рукой, правой рукой передвигаем слева направо, ощупывая пуговицы одну за другой, считаем, называем итоговое число, проверяем.
Сначала дети считают с открытыми глазами, так как закрывание глаз является сильным раздражителем и отвлекает от счёта. В старшем возрасте дети закрывают глаза.
Сосчитать пуговицы, поднять руку, у кого 2(3,4,5) пуговиц;
Карточку держим за спиной: «Пошли, пошли, поехали»;
Найти карточку, на которой 5 пуговиц;
На какой карточке пуговиц больше;
Разложить карточки в порядке увеличения количества пуговиц;
Какая карточка должна быть следующей;
Отсчитать столько же игрушек;
Подобрать к карточке цифру и т.д.
Методика обучения счёту «на слух».
Пособия: звучащие предметы (барабан, гармошка, бубен).
Требования: звуки должны извлекаться так, чтобы дети не видели движений (за ширмой), ритмично, но не быстро, не громко, с равными интервалами.
Сначала используется жест рукой (качание) в такт звукам, дети считают вслух.
Начинаем с небольшого количества звуков.
Сосчитать, сколько звуков услышали (сначала с открытыми глазами, потом с закрытыми);
Ударить столько раз, какое число названо, сколько кругов на карточке (помогают себе пальчиком), при этом сначала дается только одна карточка, в дальнейшем дети могут одновременно работать с несколькими карточками;
Ударить на один раз больше, чем названо число (цифра, игрушек на столе);
Отсчитать столько кругов, сколько звуков услышали (на 1 больше, меньше);
Угадать, сколько и каких звуков услышали;
Произвести 5 разных звуков.
Методика обучения счёту движений.
Дети считают и сами производят различные движения. Движения должны быть простыми: приседания, прыжки, наклоны, подбрасывание мяча, взмахи рукой и пр..
Сначала воспитатель дает четкий показ, обращая внимание, когда надо называть число. Детям предлагается сосчитать прыжки, прыгнуть определенное количество раз. Дети приседают на 1 раз больше (меньше), чем на образце (цифра, карточка, звуки). Дети отсчитывают столько предметов, сколько увидели движений. Предлагаем сделать 5 различных движений (на состав).
Упражнение «Цепочка»: прыгать по-очереди, каждый раз на 1 роз больше. Двум детям предлагают прыгать на скакалке: высокому – 6 раз, низкому – 7 раз.
Очень важно, чтобы в речи детей отражались связи между количеством движений, звуков, предметов, воспринимаемых зрительно или на ощупь: 5 раз подпрыгнул, потому что на карточке 5 кругов; 6 раз подбросил мяч, потому что услышал 6 звуков.
В старшем возрасте необходимо предлагать детям комплексные упражнения, в которых используются различные анализаторы вместе:
хлопнуть столько раз, сколько пуговиц на карточке;
прыгнуть на 1 раз больше, чем услышал звуков;
отгадать, какое число я задумала, если Петя прыгнет на 1 раз меньше;
сколько раз надо присесть, чтобы выполнить на 1 движение больше, чем кубиков на столе…
Таким образом, счёт с участием различных анализаторов позволяет ускорить переход от восприятия конкретного множества к понятию числа.
МЕТОДИКА ОЗНАКОМЛЕНИЯ ДЕТЕЙ С ЦИФРАМИ
Литература: Д/В № 8, 1991. Чуднова. № 9, 2002. А.Белошистая. № 10, 11, 2003 год. Перепетайло.
Ознакомление детей с цифрами целесообразно начинать одновременно с обучением счету. Дети узнают, что любое число может быть не только названо, но и записано. Чтобы узнать, сколько каких предметов, не обязательно их иметь и считать, достаточно увидеть специальный знак.
Знакомство с цифрой развивает способность отвлекаться от конкретных предметов, оперировать символами.
Работа с цифрами ведется параллельно с формированием представлений об образовании числа, о составе числа, о последовательности чисел натурального ряда, о порядковом счете, о назывании чисел в обратном порядке, об измерении, об арифметических задачах.
знакомство с цифрами по очереди, последовательно, начиная с единицы, одновременно с изучением натурального ряда; ИЛИ
независимо от счетной деятельности, цифры изучаются в произвольном порядке (лучше сравнивать близкие по написанию), чтобы дифференцировать понятия числа и цифры.
П
роблемная ситуация: сколько морковок в коробке? Можно ли узнать, не открывая коробку? Чтобы узнать, сколько предметов. Не обязательно их иметь и считать, можно посмотреть на специальный знак – цифру.
Демонстрация, называние цифры, соотнесение её с определенным количеством предметов, рассматривание элементов цифры:
Уточнение и обобщение значения цифры через обозначение (поиск) определенного количества предметов, звуков, движений, при счете на слух, на ощупь; через создание множества по цифре (отсчет); выбор цифры по слову: какую цифру покажете, если я назову число 4?
Выделение элементов цифры, сравнение похожих по написанию цифр: 6 и 9, 1 и 7, 1 и 4, 3 и 8.
Поиск «образов»: на что похожа цифра 2?
Чтение стихов, загадок.
Узнавание цифры по ее части, составление цифры из частей (разрезные картинки).
Прорисовка цифр в воздухе, на бумаге, раскрашивание, складывание из палочек, веревочек, проволоки.
Группировка цифр, разных по начертанию.
Определение цифры на ощупь.
Дидактические игры: «Сосчитай и обозначь», «Домино», «Путаница», «Продолжи ряд», «Найди соседей», «Найди свой домик», «Подбери ключик», «Заселим домики» (на состав числа), «Найди пару», «Весы», «Соедини по порядку» (картинка), «Цифры спрятались», «Что под крышкой?», «Быстро найди» (вычеркивать все двойки), «Кто где живет?».
Цифры используются при ознакомлении со временем (дни недели, месяцы года).
В 1-ом классе дети знакомятся с калькулятором (Н.Истомина)
Письмо цифр – особая задача. В детском саду можно предлагать прорисовывать отдельные элементы, тренироваться рисовать «бордюры».
Как человечество считало деньги
Приглашаем в исторический экскурс. Следуй за нами, читатель, и ты узнаешь, как зародились, эволюционировали и ассимилировались с происходящими социальными процессами счетные системы.
На пальцах
Первые счетные системы человек, вероятно, начал использовать в эпоху позднего палеолита (40–12 тысяч лет назад). Простейшими инструментами для этого служили пальцы. Счет на пальцах широко применялся в Древнем мире и Средневековье, постепенно совершенствуясь и усложняясь.
Естественное распределение пальцев на руках и ногах привело к использованию нескольких разрядов при счете и появлению нескольких систем счисления. Десятеричная система возобладала у народов Евразии. Пятеричная долгое время применялась в Китае, Древней Греции (аттическая система счисления, вытесненная затем десятеричной ионической), Древнем Риме и среди племен тропической Африки. Двадцатеричная система была у ацтеков и майя. Использование при счете четырех пальцев двух рук (большой палец не считался) привело к появлению восьмеричной системы счисления.
В древнем Шумере возникла двенадцатеричная система счисления, в которой счет велся по фалангам четырех пальцев руки. Элементы этой системы еще длительное время использовались в различные периоды истории во многих странах. Так, в Древнем Риме либра (мера веса) равнялась 12 унциям. Введенное денежной реформой Карла Великого (VIII век) соотношение «1 шиллинг = 12 денариев» просуществовало в денежных системах различных государств много столетий. Последними странами, отказавшимися от унаследованного от каролингской реформы соотношения (1 фунт = 20 шиллингов = 240 пенсов), были Великобритания (1971 год) и Нигерия (1973 год). В Древней Руси счет «дюжинами» (большим пальцем руки по фалангам остальных четырех пальцев) применялся в торговле, особенно в Новгороде в XII–XV веках, а традиция считать некоторые товары (носовые платки, карандаши и другие) дюжинами сохранялась до начала XX века.
Ловкость рук и никакого мошенничества
В период Римской республики активная международная торговля, в которую были вовлечены Средиземноморье и Ближний Восток, дала толчок развитию пальцевого счета. С его помощью можно было показывать числа до 10 000, а с использованием других частей тела — до миллиона. Римский ритор Квинтилиан (I век) писал, что необразованного человека выдает неумение правильно показать числа на пальцах.
В различных районах мира применялись системы пальцевого счета, отличные от римской. Так, арабские торговцы, знакомые с описанной Бедой Достопочтенным системой счета, применяли и отличавшийся от нее арабско-восточноафриканский метод. Собственная система счета, с помощью которой можно было показать числа до 100 миллионов, существовала в Китае.
Посчитать предметно
Счет на пальцах имел множество достоинств: простота, компактность, «счетные приспособления» всегда при себе. Но были у него и недостатки: для фиксирования результатов приходилось прибегать к иным средствам. Использование для счета других предметов (камней, раковин, костей, палочек и так далее) позволяло устранить этот недостаток. Счет мог вестись с помощью одновременно как пальцев, так и предметов.
Считать большие числа с помощью предметов было затруднительно, поэтому, например, при счете на палочках могли использоваться либо палочки разного цвета, либо различное положение палочек (горизонтальное или вертикальное) для обозначения разных разрядов.
В Древнем Китае возникшая в эпоху Сражающихся царств (V век до нашей эры) система счета на палочках использовалась до эпохи династии Мин (XIV–XVII века). Наибольшее развитие китайские счетные палочки получили в период династий Сун (X–XIII века) и Юань (XIII–XIV века). Применение китайских счетных палочек позволяло оперировать огромными числами и производить различные действия (сложение, вычитание, умножение, деление, действия с дробями и отрицательными числами, извлечение квадратного и кубического корня). Китайский математик Чжу Шицзе (1249–1314 годы) описал также способы решения с помощью палочек алгебраических уравнений.
Заруби себе на носу
Для фиксации результатов счета стали широко применяться отметки на различных предметах: зарубки (насечки), нанесение полос краской, завязывание узелков. Известно довольно много находок костей с нанесенными на них зарубками: предметы, относящиеся к эпохе мустьерской культуры (около 50 тысяч лет назад, департамент Дордонь во Франции), кости с нарезками из Дольни-Вестонице (около 30 тысяч лет назад, Чехия), браслеты с насечками, относящиеся к мезинской культуре (около 25–30 тысяч лет назад, Черниговская область) и другие. Нет единой точки зрения, имеют ли эти зарубки декоративный или счетный характер.
В Англии использование бирок было узаконено около 1100 года при короле Генрихе I (1068–1135 года) и отменено только в 1826 году. Вплоть до конца XVIII века бирки служили для учета уплаты налогов.
Законодательством Российской империи предусматривалось применение бирок для различных целей. Так, Местное Великороссийское Положение допускало учет с помощью бирок отработанных крестьянами в пользу помещика дней, а Устав торгового судопроизводства 1887 года признавал бирки особым родом доказательств, применяемых в торговом быту.
Узелок завяжется, узелок развяжется
Различные системы для счета с помощью узелков существовали у разных народов — китайцев, персов, индийцев и других. Эта система упоминается в трудах греческого историка Геродота (V век до нашей эры). Древнекитайский философ Лао-цзы (VI–V век до нашей эры) писал об употреблении веревок и узлов для счета как об основательно забытом обычае.
Наивысшей степени развития узелковое письмо достигло в Южной Америке в эпоху расцвета государства инков (XV век). Система инков, называвшаяся «кипу», представляла собой сложные веревочные сплетения и узлы, которые могли содержать различное количество свисающих нитей — от нескольких штук до более полутора тысяч.
С помощью кипу не только проводились арифметические вычисления, но и велось исчисление времени, делались картографические описания, записывались законы и генеалогические сведения, передавались донесения, велся бухгалтерский учет. Читали кипу специально подготовленные профессионалы — «кипукумайоки».
Через полвека после уничтожения государства инков конкистадорами (1532–1533 годы) колониальные власти запретили кипу, но использование этой счетной системы в некоторых районах продолжалось до начала XX века.
Взвешенное решение
С древности своеобразным счетным устройством служили человеку весы (древнейшие весы были обнаружены археологами в Месопотамии и относятся к V тысячелетию до нашей эры). Их применяли для определения количества однородных предметов путем взвешивания вместо пересчета. Неслучайно названия некоторых денежных единиц как в период античности (мина, либральный асс), так и в более позднее время (фунт, французский ливр, итальянская лира) происходят от единиц измерения веса. Чеканившиеся в СССР с 1926 по 1991 годы монеты в 1, 2, 3 и 5 копеек имели вес соответственно в 1, 2, 3 и 5 граммов, что позволяло определять сумму большого числа монет простым взвешиванием.
Важным этапом развития в древности стало появление счетных досок, получивших общее название «абак». Происхождение этого термина не установлено. Возможно, греческое слово ἄβαξ происходит от общесемитского корня слов со значением «пыль». Такое название могло быть связано с тем, что для вычислений использовались доски с углублениями и линиями, на которых в определенном порядке раскладывались однородные предметы (камешки, кости и другие), а чтобы они не скатывались с доски, она покрывалась слоем песка. Считается, что раньше, чем в Греции, абак стали применять в Вавилоне, Египте и Финикии, но археологических подтверждений этому пока не обнаружено. Пифагор (VI век до нашей эры) полагал, что счет с помощью абака должен входить в курс математики.
В Древнем Риме абак появился, вероятно, в V–VI веках и назывался calculi и abaculi (abacus). Римские абаки изготавливались из различных материалов (бронза, слоновая кость, цветное стекло). Бронзовый римский абак, хранящийся в Национальном археологическом музее Неаполя, представляет собой доску с прорезанными в ней щелями, в которых перемещаются костяшки. Семь длинных щелей с четырьмя костяшками, одна — с пятью, над каждой длинной щелью — короткая с одной костяшкой. Над длинными щелями помечены значения разрядов: миллионы, сотни тысяч, десятки тысяч, тысячи, сотни, десятки, единицы, унции (то есть двенадцатые части). В щели, помеченной « », — пять костяшек (то есть 5/12). В правой части абака — щели с пометками, означающие 1/2, 1/4 и 1/6 унции.
Распад и падение Римского государства прервали развитие счетной техники. Абак в Европе был надолго забыт.
В Китае аналог абака — суаньпань — появился в VI веке и постепенно вытеснил традиционную систему счета на палочках. Со временем его устройство менялось, современный вид он приобрел в XVII веке. Суаньпань представляет собой прямоугольную раму, разделенную на две части. В большом отделении («Земля») на каждой проволоке — 5 шариков, в меньшем («Небо») — 2 шарика. Проволоки соответствуют десятичным разрядам, каждый шарик большего поля — единице, меньшего — пяти. На суаньпане можно не только производить четыре арифметических операции, но и извлекать квадратные и кубические корни.
В XV–XVI веках суаньпань был завезен в Японию, где получил название «соробан». В Японии он был модифицирован (последний раз — в 1930 году).
Абак, забытый в Европе после распада Римской империи, вновь получил распространение в X веке благодаря монаху Герберту Орильякскому (938–1003), ставшему впоследствии римским папой Сильвестром II. Герберт во время путешествия в Кордовский халифат познакомился с арабской системой цифр и с абаком.
В XV веке в Англии появилась новая форма абака — «счет на линиях», — распространившаяся в XV–XVI веках по континентальной Европе. Для счета на линиях использовались горизонтально разлинованная доска и металлические жетоны, которые в Германии назывались счетными пфеннигами, в других странах — фишками. Жетоны при счете выкладывались не только на линиях, но и между ними. Разрядность повышалась снизу вверх. Правила счета на линиях излагались во многих учебниках, изданных в XV–XVII веках, счет упоминается в созданных в то время пьесах Шекспира и Мольера.
Лечь костьми
Немецкий физик, математик и философ Готфрид Лейбниц (1646–1716 годы) предпочитал счет на линиях счету на бумаге. Постепенно первый уступал последнему, применяясь все реже. Дольше всего он сохранялся в Германии и Австрии — до конца XVIII века.
Счетные приборы, аналогичные абаку, существовали в Америке. Так, в государстве инков применялись несколько видов устройства, называвшегося «юпана». Для вычислений применялись зерна, которые раскладывались по ячейкам.
В России существовал аналогичный счету на линиях способ, называвшийся «счет костьми». Он описан в рукописных книгах XVI века, объединенных общим названием «Цифирная счетная мудрость», но возник задолго до этого. Свое название способ получил из-за использования для счета сливовых или вишневых косточек. Внешне приспособление напоминало европейскую доску для счета на линиях. Горизонтальные линии служили разделителями разрядов. Косточки на линиях обозначали единицы разряда, кость над линиями — пять единиц разряда. Иногда для счета служили металлические жетоны («пенязи», что дало второе название — «счет пенязями»). Для вычисления налогов на досках применялись добавочные разделения для подсчета трети (1/3), полутрети (1/6) и так далее до «малой чети» (1/32).
В XVI веке на смену счету костьми пришел более удобный «дощаный счет». Его полное описание содержится в списке «Счетной мудрости» 1691 года. Первоначально устройство для дощаного счета представляло собой два соединенных ящика, каждый из которых был разделен на два отделения. Наличие четырех отделений позволяло не только сохранять условие задачи, но и фиксировать промежуточные расчеты. В каждом отделении было натянуто по 14 веревочек с нанизанными на них костяшками. На верхних десяти было по 9 костяшек (иногда — по 10), они предназначались для операций с целыми числами. На нижних рядах, содержащих 3, 4, 5 или 6 косточек, производились операции с дробями. Ряды с одной или двумя костяшками представляли половину той дроби, под которой они находились.
Постепенно устройство дощаного счета совершенствовалось, в нем стали применяться только две части вместо четырех, и только нижние ряды, для работы с дробями, имели четыре отделения. Затем исчезли ряды, содержащие по одной костяшке.
В XVII веке меняется название прибора, в 1658 году «счоты» впервые упоминаются в «Переписной книге домовой казны патриарха Никона». В начале XVIII столетия дощаный счет в России окончательно трансформируется в «счеты», в дальнейшем претерпевая только незначительные внешние изменения. В XIX веке русские счеты стали известны в Западной Европе, однако использовались там только для обучения в начальной школе. В России они применялись в торговле и бухгалтерском учете до конца XX века, пока не были окончательно вытеснены калькуляторами. В начальной школе для обучения счету они служили до конца 1980-х годов.
В счетах применяется позиционная десятичная система счисления. Каждый ряд костяшек представляет собой числовой разряд, возрастающий от единиц до сотен тысяч, а вниз — уменьшающийся от десятых до тысячных. Прут с четырьмя костяшками служит разделителем целых и дробных частей, а также для счета полушками (1/4 копейки).
Палочки на новый лад
Палочки неоднократно пытались усовершенствовать. Первую попытку предпринял сам Непер. В приложениях к «Рабдологии» он дал описание прибора, состоящего из 200 палочек, и счетной доски. Однако эти его изобретения были чрезвычайно сложны и не нашли практического применения.
Более удачными усовершенствованиями палочек Непера были предложенные русским изобретателем Г. К. Иоффе в 1881 году («бруски Иоффе») и французскими инженером А. Женаем и математиком Э. Люка в 1891-м («бруски Женая — Люка»). Бруски Женая — Люка позволяли выполнять умножение любого натурального числа на любое натуральное число, при этом пользователь, представляя перенос графически, мог считывать результат умножения без промежуточных расчетов. Принцип действия брусков Иоффе был основан на теореме Слонимского и позволял производить умножение быстрее. Популярность брусков для вычислений оказалась недолгой: вскоре они были вытеснены механическими вычислительными устройствами.
Механические расчеты
В связи с распространением торговых операций и океаническим судоходством возникла потребность в автоматических вычислениях. В двухтомном собрании рукописей итальянского ученого Леонардо да Винчи (XV–XVI век) содержится описание 13-разрядного суммирующего устройства, состоящего из стержней, на которые крепятся два зубчатых колеса: с одной стороны — большее, с другой — меньшее. Суммирующая машина Леонардо да Винчи, однако, так и осталась одним из нереализованных его проектов.
В 1623 году немецкий ученый Вильгельм Шиккард (1592–1635) разработал машину, названную им «счетные часы» и предназначенную для суммирования и умножения шестизначных чисел. Машина Шиккарда состояла из суммирующего устройства, множительного устройства и устройства для записи промежуточных результатов. Устройство было шестиразрядным, в каждом разряде на оси имелись закрепленная шестеренка с десятью зубцами и колесо с одним «пальцем», служившим для передачи десятка в следующий разряд. Были изготовлены два экземпляра машины Шиккарда, однако оба они сгорели во время пожара.
Машины Леонардо да Винчи и Шиккарда были забыты, поэтому длительное время считалось, что создателем первой арифметической машины является французский ученый Блез Паскаль (1623–1662). В 1960-х годах были изготовлены машины Леонардо и Шиккарда, доказавшие свою работоспособность.
Первая модель суммирующей машины Паскаля была создана в 1642 году. В дальнейшем изобретатель неоднократно ее совершенствовал, экспериментируя с материалами и формой деталей. Всего Паскаль создал более 50 моделей машины, названной «Паскалина», из них сохранилось восемь. Машина представляла собой небольшой ящичек с восемью круглыми отверстиями и нанесенной вокруг них круговой шкалой. Шкала крайнего правого отверстия была разделена на 12 частей, соседнего с ним — на 20, остальных — на 10. Такая градуировка была связана с тем, что Паскаль создавал свою машину в помощь отцу, сборщику налогов, и поэтому она соответствовала тогдашней монетной системе (1 ливр = 20 су = 240 денье). В отверстиях располагались зубчатые колеса, число зубьев колеса соответствовало числу делений шкалы данного отверстия. Один из зубцов каждой шестерни был немного удлинен и задевал соседнее колесо. «Паскалина» не получила широкого распространения в связи с ее высокой стоимостью, а также с незначительными вычислительными способностями — в частности, с неудобством выполнения операций вычитания.
В 1673 году Готфрид Лейбниц создал «ступенчатый вычислитель». В основе арифмометра Лейбница лежит ступенчатый валик (или колесо Лейбница), который впоследствии использовался в конструкции вычислительных машин на протяжении трехсот лет. Ступенчатый валик представлял собой цилиндр с зубцами разной длины, которые взаимодействуют со счётным колесом. Передвигая колесо вдоль валика, его вводили в зацепление с необходимым числом зубцов и обеспечивали установку определённой цифры. Механизм ввода слагаемых находился на подвижной каретке. Конструкция арифмометра включала две вращающиеся рукоятки: одна — для сдвига подвижной каретки, другая — для вращения ступенчатого колеса, что позволяло ускорить повторяющиеся операции сложения, при помощи которых выполнялись умножение и деление. Машина работала с 12-разрядными числами, позволяла производить операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.
Появившиеся в XVII–XVIII веках модели арифмометров не нашли широкого распространения, оставшись в основном в виде демонстрационных моделей.
Век арифмометров
В ходе промышленной революции XIX столетия потребность в механизации счетных работ стала возрастать. В 1820 году появляется «арифмометр Томаса», ставший первым серийно производимым арифмометром. Французский предприниматель Шарль Ксавье Тома де Кольмар (1785-1870) создает свой арифмометр, основанный на принципе Лейбница. Де Кольмар неоднократно выставлял свой арифмометр на различных международных выставках, и хотя его прибор не получил ни одной награды, он намного превзошел по продажам устройства всех остальных изобретателей. Арифмометр продавался в количестве 300–400 экземпляров в год (для того времени — довольно массовый выпуск) вплоть до начала прошлого столетия, то есть почти 90 лет.
В конце XIX века предпринимались также попытки выпуска арифмометра Томаса под иными марками, с внесенными в конструкцию изменениями. В 1874 году шведско-русский инженер Вильгодт Теофил Однер создал новую модель, основанную на применении «колеса Однера» — зубчатки с переменным числом зубцов. В его конструкции колесо имеет 9 выдвижных спиц. Количество выдвинутых спиц определяется углом поворота установочного рычажка до соответствующей цифры на шкале. Колесо Однера оказалось настолько удачным, что без принципиальных изменений применялось во многих последующих моделях арифмометров. В 1877 году на заводе Нобеля был выпущен первый арифмометр Однера, а в 1890 году его производство началось на фабрике Однера — Гиля в Петербурге. В 1897-м Однер стал единоличным владельцем фабрики, после его смерти производство продолжила фирма под названием «Наследники Однера». После Октябрьской революции завод был национализирован, а производство арифмометров прекращено. В 1925 году оно возобновилось на Сущевском заводе имени Дзержинского под прежней маркой «Однер», а с 1931 по 1978 год — «Феликс». Наследники Однера, эмигрировавшие после революции в Швецию, создали там новое производство и стали выпускать арифмометры под маркой «Оригинал-Однер».
Счетные машины типа Однера имели определенные недостатки: постановка рычажков на нужные цифры, обратная их перестановка, движение каретки и вращение барабана производились вручную. В XX веке появились вычислительные машины с электроприводом, в которых вращение барабана и передвижение каретки производилось электродвигателем, а набор чисел выполнялся нажатием клавиш. Это позволяло существенно повысить скорость вычислений по сравнению со счетом на арифмометрах с ручным приводом. Результаты вычислений фиксировались в виде цифр на барабанах, а в некоторых моделях (счетно-записывающих машинах), кроме того, печатались на бумажной ленте, причем могли воспроизводиться не только окончательные, но и промежуточные результаты.