Натуральный ряд и его свойства. Счет
К возникновению понятия числа приводят два вида деятельности: счет и измерение. Счет ведет к натуральному числу, измерение – к действительному числу.
Множество натуральных чисел называют натуральным рядом.
Он обладает свойствами:
— имеется начальное число (1);
— за каждым числом следует только одно число;
— каждое последующее число на 1 больше предыдущего, а предыдущее на 1 меньше последующего (n ± 1);
— натуральный ряд бесконечен.
При счете используются не все натуральные числа, а только их часть, достаточная для определения количества элементов в множестве.
Например, чтобы определить число элементов в множестве <а, b, с, d, е>, нужен отрезок натурального ряда < 1, 2, 3, 4, 5 >.
Отрезком натурального ряда Na называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.
Во время счета мы следуем некоторым правилам:
— считаем каждый элемент только один раз, не пропуская ни одного;
— числа называем последовательно, начиная с единицы, не пропуская ни одного и не используя дважды.
Счетом элементов множества А называется установление взаимно однозначного соответствия между множеством А и отрезком натурального ряда Na .
Число а называют числом элементов в множестве А, оно единственное для данного множества и является характеристикой количества элементов в множестве А или, короче, количественным натуральным числом.
В процессе счета происходит также упорядочивание элементов множества А (первый элемент, второй, третий. ), т.е. натуральное число можно рассматривать и как характеристику порядка элементов в множестве А или, короче, как порядковое число. В этой роли натуральное число выступает, когда хотят узнать, каким по счету является тот или иной элемент множества.
Натуральное число как результат счета не зависит от того, в каком порядке пересчитывались элементы множества, важно чтобы соблюдались правила счета.
Многие родители допускают ошибку, говоря, что ребенок умеет считать до ста, когда тот может только называть числа от 1 до 100, т.е. запомнил последовательность числительных. При обучении дошкольника счету, необходимо научить его устанавливать взаимно однозначное соответствие между предметами и числами, чтобы избежать ошибок (пропуск предметов, сосчитывание одного предмета несколько раз, непонимание, сколько же всего предметов и др.).
Количественные и порядковые числа тесно связаны, и возможен переход от одного к другому, в зависимости от цели счета.
Сам счет служит для упорядочивания элементов множества или для определения их количества.
Дата добавления: 2015-10-19 ; просмотров: 4866 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Натуральный ряд и его свойства. Счет
К возникновению понятия числа приводят два вида деятельности: счет и измерение. Счет ведет к натуральному числу, измерение – к действительному числу.
Множество натуральных чисел называют натуральным рядом.
Он обладает свойствами:
— имеется начальное число (1);
— за каждым числом следует только одно число;
— каждое последующее число на 1 больше предыдущего, а предыдущее на 1 меньше последующего (n ± 1);
— натуральный ряд бесконечен.
При счете используются не все натуральные числа, а только их часть, достаточная для определения количества элементов в множестве.
Например, чтобы определить число элементов в множестве <а, b, с, d, е>, нужен отрезок натурального ряда < 1, 2, 3, 4, 5 >.
Отрезком натурального ряда Na называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.
Во время счета мы следуем некоторым правилам:
— считаем каждый элемент только один раз, не пропуская ни одного;
— числа называем последовательно, начиная с единицы, не пропуская ни одного и не используя дважды.
Счетом элементов множества А называется установление взаимно однозначного соответствия между множеством А и отрезком натурального ряда Na .
Число а называют числом элементов в множестве А, оно единственное для данного множества и является характеристикой количества элементов в множестве А или, короче, количественным натуральным числом.
В процессе счета происходит также упорядочивание элементов множества А (первый элемент, второй, третий. ), т.е. натуральное число можно рассматривать и как характеристику порядка элементов в множестве А или, короче, как порядковое число. В этой роли натуральное число выступает, когда хотят узнать, каким по счету является тот или иной элемент множества.
Натуральное число как результат счета не зависит от того, в каком порядке пересчитывались элементы множества, важно чтобы соблюдались правила счета.
Многие родители допускают ошибку, говоря, что ребенок умеет считать до ста, когда тот может только называть числа от 1 до 100, т.е. запомнил последовательность числительных. При обучении дошкольника счету, необходимо научить его устанавливать взаимно однозначное соответствие между предметами и числами, чтобы избежать ошибок (пропуск предметов, сосчитывание одного предмета несколько раз, непонимание, сколько же всего предметов и др.).
Количественные и порядковые числа тесно связаны, и возможен переход от одного к другому, в зависимости от цели счета.
Сам счет служит для упорядочивания элементов множества или для определения их количества.
Математика (ЕН.01)
Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля
1. Количественные натуральные числа. Счет
Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.
Определение. Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.
Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что Nа =
Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.
1) Любой отрезок Nа содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка Nа.
2) Если число х содержится в отрезке Nа и х¹а, то и непосредственно следующее за ним число х +1 также содержится в Nа.
Определение. Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку Nа натурального ряда.
Теорема. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Определение. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку Nа, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.
Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.
Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.
Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.
Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
Учебно-методические материалы для КСР.
Тема. Понятие о натуральном числе и нуле. Отношения «равно», «меньше» на множестве целых неотрицательных чисел.
Цель:формирование у студентов представлений о теоретико-множественном подходе к понятию количественного натурального числа и нуля, совершенствование знаний студентов об отношениях «равно», «меньше» на множестве целых неотрицательных чисел.
Изучить материал темы по плану:
1. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет.
2. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля.
3. Отношения «равно», «меньше» на множестве целых неотрицательных чисел.
1. Кожух, I.Р. Матэматыка : Вучэб. дапам. для пед. ш-тау / I. Р. Кожух. — Мінск, Выш. шк., 1993. – с. – 89–90, 120–125.
2. Материалы лекции по теме «Понятие о натуральном числе и нуле. Отношения «равно», «меньше» на множестве целых неотрицательных чисел».
Вопросы для самоконтроля.
1. Какие числа называются натуральными? Как обозначается множество натуральных чисел?
2. Назовите основные правила счета элементов множества.
3. Что понимают под счетом элементов конечного множества?
4. Что называют отрезком натурального ряда чисел? Как он обозначается?
5. Дайте определение количественного натурального числа и нуля с позиций теории множеств.
6. Что называют множеством целых неотрицательных чисел? Как оно обозначается?
7. В чем разница между количественными и порядковыми натуральными числами?
8. Дайте определение отношения «равно» на множестве целых неотрицательных чисел.
9. Докажите, что отношение «равно» является отношением эквивалентности.
10. Дайте определение отношения «меньше» тремя способами:
а) связанное с теоретико-множественными понятиями;
б) связанное со сложением целых неотрицательных чисел;
в) исходя из понятия отрезка натурального ряда чисел.
11. Докажите, что отношение «меньше» на множестве целых неотрицательных чисел является отношением строгого линейного порядка.
– проверка конспектов изученного материала;
ТЕМА. Понятие о натуральном числе и нуле, отношениях «равно» и «меньше» на множестве целых неотрицательных чисел
1. Краткие исторические сведения о возникновении понятия натурального числа и нуля. Различные подходы к определению этих понятий.
2. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет.
3. Понятие о натуральном числе как общем свойстве класса конечных равномощных множеств. Понятие о нуле.
4. Отношения «равно» и «меньше» на множестве Nο.
1. Краткие исторические сведения о возникновении понятия натурального числа и нуля. Различные подходы к определению этих понятий (реферат)
Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
Натуральными называются числа, которые употребляются при счете предметов.
Проводя счет, мы соблюдаем ряд правил:
— первым при счете может быть указан любой элемент множества;
— ни один элемент множества не должен быть пропущен;
— нельзя считать элемент множества дважды.
А что представляет собой процесс счета?
Чтобы провести счет элементов множества А = <а, в, с, d>мы говорим: «первый», «второй», «третий», «четвертый». На этом процесс счета заканчивается, т.к. использованы все элементы множества А.
При счете элементов множества мы использовали порядковые натуральные числа. Сосчитав элементы множества А, мы говорим, что в множестве четыре элемента, т.е. получаем количественную характеристику элементов множества.
Отрезком Nа натурального ряда называют множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.
Nа = <х | х 
N, х 
>
N 
=
Счетом элементов множества А называется установление взаимно однозначного соответствия между множеством А и отрезком натурального ряда Nа.
а – число элементов в множестве А, n (А) = а
а – количественное натуральное число.
Лекция на тему: «Количественное натуральное число. Счет предметов. Взаимосвязь количественных и порядковых натуральных чисел.»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Тема: Количественное натуральное число. Счет предметов. Взаимосвязь количественных и порядковых натуральных чисел.
Цель: Познакомить студентов с задачами, стоящими перед учителем в дочисловой период и основными формами работы на данном этапе. Познакомить с понятием количественного и порядкового натурального числа.
Нумерация целых неотрицательных чисел. Методика обучения математике в дочисловой период
Формирование понятия натурального числа и нуля. Различные подходы к изучению натуральных чисел. Количественное натуральное число. Счет предметов. Взаимосвязь количественных и порядковых натуральных чисел.
Количественное натуральное число. Счет предметов. Взаимосвязь количественных и порядковых натуральных чисел.
Нумерация целых неотрицательных чисел. Методика обучения математике в дочисловой период.
Центральным вопросом в начальном курсе математики является нумерация
целых неотрицательных чисел. Это вопрос об образовании, чтении, записи натуральных чисел, об их сравнении и десятичном составе. Главным вопросом нумерации является принцип образования чисел в натуральном ряду. Основная цель учителя – сформировать теоретические знания, вычислительные навыки, умение решать арифметические задачи. Материал изучается по концентрам – десяток, сотня, тысяча, многозначные числа.
Первым этапом обучения математике в начальной школе является дочисловой период. Обучение в дочисловой период строится на жизненном опыте ребенка. Изучению темы «Числа от 1 до 10» предшествуют несколько подготовительных уроков, на которых учитель выясняет уровень математических представлений учащихся, с которыми они пришли в школу. В этот период уточняются представления детей о количественном и порядковом числе; выясняется знание последовательности слов-числительных при счете; формируется умение пересчитывать предметы; разъясняются понятия больше, меньше, столько же.
Задачи дочислового периода:
1. Обогатить жизненный опыт ребенка, связанный
со сравнением предметов по разным признакам (цвет, форма, размер),
уточнением пространственных представлений (слева, вверху, сзади),
направлением движения (вверх, налево, вперед)
простейшими временными представлениями (вчера, раньше)
Важно создать прочную основу для формирования представлений о числе и о действиях над числами и с числами.
Развивать понятийное мышление, умение выразить свои знания, мысли на основе работы с предметами, моделями, учебником, тетрадью.
Формировать у учащихся умения и навыки, необходимые для создания комфортных условий первоклассникам.
Особенности детей шестилетнего возраста.
не развита мелкая мускулатура руки,
низка сопротивляемость утомлению,
невысок уровень восприятия, слабо развита мыслительная деятельность, способность к обобщению и конкретизации.
Основные формы работы в дочисловой период:
Анкетирование, выявление дошкольной математической подготовки,
Формирование понятия числа (в процессе счета, измерения, путем арифметических действий)
Отрабатывается умение считать (нельзя пропускать и повторять, результат не зависит от порядка счета, порядковая и количественная формы счета)
Сравнение численностей множеств: пересчетом, путем установления взаимно однозначного соответствия с последующим выводом: чего больше?
Преобразование неравночисленных множеств в равночисленные 2 способами
Работа с величинами: длина, масса, емкость, время, глубина и др.
Формирование пространственных представлений
Подготовка к письму
Знакомство с учебными принадлежностями, правилами посадки и поведения на уроке.
При характеристике содержания и системы построения начального курса математики, говорилось, что работа, направленная на формирование у детей понятия о числе и арифметических действиях, ведется в течение всего начального обучения, и составляет основу всего курса.
Программа по математике включает целую систему специальной учебной работы по усвоению понятия числа как необходимого условия повышения теоретического уровня знаний учащихся 1—4 классов.
Программа определяет два уровня усвоения детьми теоретических знаний по математике:
уровень конкретных знаний или представлений;
уровень обобщенных знаний.
Усвоение понятия натурального числа учащимися должно быть доведено до уровня конкретных знаний.
Формирование определенной системы знаний о натуральном числе начинается с 1 класса и проходит ряд этапов.
Уже на первых уроках математики (подготовительный период), когда проверяются и систематизируются знания, приобретенные детьми до школы, делаются первые шаги по внесению в сознание первоклассников элементов научных основ о числе.
Прежде всего, доступно, на практической основе, четко раскрывается цель счета. В процессе счета дети осваивают последовательность числительных, отрабатывают технику счета. На конкретных множествах, состоящих из однородных и неоднородных элементов, первоклассники учатся правильно соотносить числительные с элементами множества; узнают, что результат счета не зависит от порядка, в котором пересчитывались предметы.
Счет — основной источник получения натурального числа в начальной школе. Считая, ученик действенно выделяет из окружающего его мира множества определенной численности. Процесс счета, таким образом, определяет числовые представления о множествах. Например, число 4 для ученика — это 1, 2, 3, 4. Теоретическая основа процесса счета далее несколько углубляется, и, в конечном счете, ученик начинает осозна вать его как процесс установления взаимнооднозначного соответствия между элементами стандартной натуральной последовательности чисел с элементами данного множества.
На уроках подготовительного периода учащиеся должны усвоить, что на вопрос «сколько?» предметы можно считать в любом порядке, на вопрос «который по счету?» — в определенном. Порядковые отношения, порядковые значения чисел демонстрируются на дидактическом материале, применяются элементы драматизации.
Формирование понятия натурального числа и нуля. Различные подходы к изучению натуральных чисел.
Целые положительные число называются натуральными в связи с тем, что они были придуманы человечеством для счета элементов реальных множеств ( животных, людей, предметов), а так же для обозначения результатов процесса измерения величин (длины, массы, емкости, времени, площади и т.п.). Т.о. различают число как результат счета элементов множества и число как результат измерения величин.
Альтернативные программы по математике для начальной школы различаются главным образом способом знакомства с этими характеристиками числа.
Наука, изучающая числа и действия с ними получила название « арифметика » (от греческого arithmos-число).
Число – это количественная характеристика множества предметов.
Под разрядом понимается определенное место в записи числа в позиционной системе счисления (разряд – позиция цифры в записи числа).
Многозначные числа образуются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Класс объединяет три разряда.
I . Рассмотрим подход к изучению чисел в программе “Школа России».
Курс математики в этой программе построен концентрично, т.е. в нем выделены концентры «Десяток», «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа».
В концентре «Десяток» учащиеся знакомятся с однозначными числами и цифрами, которые используют в десятичной системе счисления. В этом же концентре вводится число 10, при записи которого используется две цифры. При этом с цифрой 0 знакомятся после того, как введено число 10.
Работа, целью которой является формирование представления о десятичной системе счисления, начинается в концентре «Сотня». Здесь выделяют две ступени: сначала изучается нумерация чисел 11-20, а затем 21-100. Выделение первой ступени (11-20) объясняется тем, что в названии каждого числа второго десятка наблюдается одна закономерность, а в записи другая.
Дальнейшее изучение нумерации продолжается в концентре «Тысяча». Особенности десятичной системы счисления позволяют младшим школьникам осуществить перенос умения читать и записывать двузначные числа на область трехзначных. Появление нового разряда – сотен связывается в введением счетной единицы (сотни).
В концентре «Многозначные числа» дети учатся читать и записывать числа в пределах миллиона. Для усвоения структуры многозначного числа и терминологии, связанной с названием разрядов и классов, учащиеся упражняются в чтении чисел, записанных в таблицу, которая называется таблицей разрядов и классов.
2. В связи с тематическим построением курса в нем выделяются не концентры, а темы: «Однозначные числа», «Двузначные числа», « Трехзначные числа», «Четырехзначные числа» и «Пятизначные и шестизначные числа» в процессе изучения которых у учащихся формируются сознательные навыки чтения и записи чисел. Выделение тем, названия которых сориентированы на количество знаков в числе, способствуют пониманию детьми различий между цифрой и числом.
Усвоение самих чисел и их отношений в отрезке натурального ряда (1—10) проводится путем установ ления взаимнооднозначного соответствия между элементами соответствующих множеств. В дальнейшем сравнение чисел осуществляется на основе порядко вых отношений на отрезке натурального ряда: число, встречающееся при счете позднее, больше числа, ко торое встречается раньше, и, наоборот, число, кото рое встречается раньше, меньше числа, которое встре чается позже.
Например, число 8 называют при счете после числа 7 и перед числом 9, значит, 8>7, а 7 9 и т.д.
Например, классу показывают цифру — учащиеся поднимают соответствующие этому знаку число палочек, и, наоборот, демонстрируется числовая фигура — учащиеся показывают соответствующую этому множеству цифру.
Дальнейшее осознанное представление о числе формируется в процессе счета, с которым учащиеся к этому времени осваиваются. Упражнения в счете убеждают ученика в том, что при многократном пересчитывании элементов одного и того же множества счет всегда заканчивается на одном и том же члене стандартной последовательности слов, которые и характеризуют его численность. Уже на вводных уроках математики в 1 классе закладываются начальные элементы порядковых отношений: стоять перед, находиться между, следовать за, знакомят с порядковым значением чисел. По мере накопления знаний учащемуся становится доступно отношение меньше, которое устанавливает определенный порядок в конечном множестве натуральных чисел.
Устная и письменная нумерация чисел от 1 до 10 изучается совместно. В большинстве случаев знакомству подлежат сразу два последовательных числа. Такая методика положительно влияет на отработку навыков счета, помогает раскрыть структуру последовательности натуральных чисел и способствует более быстрому запоминанию цифр. Изучение каждого числа ведется в определенной последовательности.
Отыскание единичных предметов и групп, которые характеризуются данным числом.
Упражнения в счете с целью закрепления количественных и порядковых отношений чисел в натуральном ряду.
Сравнение чисел по величине.
Ознакомление с печатной и письменной цифрой.
Работа по соотнесению цифры и числа предметов.
Образование числа из предыдущего путем присчитывания единицы и из последующего путем отсчитывания единицы весьма эффективно решает одновременно две задачи: рассматриваются порядковые отношения чисел (какое число предшествует данному, какое следует за ним) и раскрываются их количественные отношения (какое число меньше, какое больше данного).
Для обозначения количественных отношений натуральных чисел вводятся знаки: >,
Систематическая работа проводится по запоминанию места числа в натуральном ряду. Например:
Назовите числа по порядку от 1 до 6, от 2 до 8, от 7 до 3.
Назовите числа, стоящие перед каждым из чисел: 6, 8, 10.
Назовите числа, стоящие в ряду после каждого из чисел: 5, 7, 9.
Назовите соседей числа 5 в ряду.
Назовите число, следующее за числом 4, предшествующее числу 6.
Основные свойства натурального ряда чисел, которые, по сути дела, сформулированы в свойствах отношения следовать за, рассматриваются практически, при решении примеров вида:
Увеличить на 1 числа: 10, 13.
Уменьшить на 1 числа: 20, 17.
Выполнить сложение и вычитание на основе натуральной последовательности: 14+1, 40—1.
Какое число следует за числом 99? 999?
Устно: 99 999+1, 100 000-1.
Работа над понятием натурального числа в 1—4 классах строится с изучением целого комплекса других понятий. Система знаний о натуральном числе в последующих классах будет пополняться.
Изучая числа первого десятка, дети знакомятся с числом нуль. Понятие об этом числе дети получают, выполняя ряд упражнений в отсчитывании предметов по одному до тех пор, пока не останется ни одного. Затем вводится обозначение числа нуль цифрой. Учащиеся решают, например, такие задачи: «На ветке висела одна вишня, затем она упала. Сколько вишен осталось?»
Далее число нуль сравнивают с числом 1. Опираясь на решение задачи, выясняют, сколько вишен было, сколько упало, больше или меньше стало вишен после того, как одна вишня упала. Результат сравнения записывают: 0
Количественное натуральное число. Счет предметов. Взаимосвязь количественных и порядковых натуральных чисел.
Огромная роль числа в жизни людей обусловливает довольно раннее формирование числовых представлений у ребёнка. Натуральное число выступает для ребёнка на этом этапе как целостный наглядный образ, в котором он не выделяет единичных предметов. Первые представления детей о числе связаны с его количественной характеристикой, и ребёнок может отвечать на вопрос: «Сколько?», не владея операцией счёта.
Количественная характеристика предметных групп осознаётся ребёнком и в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами (выражение в понятиях «столько же», «больше», «меньше»). Для этого можно использовать: 1) наложение предметов одного множества на предметы другого; 2) расположение предметов одного множества под предметами другого; 3) соединение каждого предмета одного множества с каждым предметом другого. Данная операция связана с выделением отдельных элементов и подготавливает к сознательному владению счётом.
На первом этапе счёт выступает для ребёнка как установление взаимно-однозначного соответствия между предметной совокупностью и совокупностью слов-числительных. Для овладения операцией счёта необходимо запомнить порядок слов-числительных, что закрепляется в результате выполнения упражнений типа «Сколько…?» и других упражнений: 1) что изменилось/не изменилось? 2) чем похожи/отличаются рисунки? 3) Хватит ли мишкам орехов, если каждому дать по 1/2/3 ореха? 4) По какому признаку подобраны пары картинок? 5) Покажи «лишнюю» картинку?
Усвоение детьми последовательности слов-числительных позволяет перейти к формированию операции счёта и знакомству учащихся с цифрами. Чтобы учащиеся отличали числа от цифр, полезно познакомить их с другими цифрами (римскими).
Трудно довести до сознания тот факт, что каждое число, названное при счёте, является одновременно и порядковым, т.к. указывает на порядок предмета при счёте. Для осознания взаимосвязи между порядковым и количественным числом можно использовать задания с полоской (это пятый кружок, сколько кружков на полоске и т.д.).
Важно, чтобы дети понимали, что, как бы мы ни нумеровали предметы данной совокупности, ответ на вопрос «Сколько?» будет всегда одинаковым, при этом нумерацию надо начинать с 1, не пропускать ни одного предмета и не указывать на один предмет дважды. Для этого можно использовать разноцветные круги и считать их, начиная с разных, или же переставляя номера кругов при счёте.
Стойлова Л.П. Теоретические основы начального курса математики: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2014
Истoминa H.Б. Мeтoдика oбучeния мaтeмaтикe в нaчaльных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2001.