теорема остроградского гаусса в интегральной форме
Лекция 4
Ранее была установлена связь между характеристикой электрического поля – напряженностью и его источниками, т.е. зарядами в виде определения напряженности. Существует еще одна связь между ними, которая может оказать существенную помощь при решении симметричных задач – теорема Гаусса. Заметим, что она входит в качестве постулата в систему уравнений Максвелла.
1.Общие замечания о векторном поле
В физике достаточно часто приходится изучать векторные поля (поле скорости жидкости, электромагнитное поле), теория которых достаточно хорошо разработана в математике.
Поле называют векторным, если каждой точке пространства поставлено в соответствии три числа, т.е. вектор.
Векторные поля существенно сложнее скалярных. Вектор поля можно показать с помощью силовых линий. Могут существовать точки, в которых эти линии начинаются и заканчиваются, такие точки называются источниками и стоками. Для электрического поля – это положительный и отрицательный заряд. Где линии гуще – поле сильнее.
Интегральной характеристикой векторного поля является поток вектора поля через какую-то либо поверхность. Дифференциальной или локальной характеристикой векторного поля является дивергенция. Вся терминология пришла из гидродинамики.
2.Понятие потока
Пусть имеется какое-либо векторное поле и некоторая поверхность S. На этой поверхности мы выберем маленькую площадку dS, покажем нормаль к этой точке .
Потоком вектора через произвольную поверхность площади S называется поверхностный интеграл следующего вида:
или используется ещё обозначение ,где – произведение нормали на площадь.
Если поверхность замкнута, то поток через замкнутую поверхность обозначается, как
,
где – интеграл по замкнутой поверхности.
Поток – это объёмная или интегральная характеристика векторного поля.
Возьмем точку M в пространстве. Окружим ее замкнутой поверхностью S и вычислим поток через замкнутую поверхность. Затем поверхность будем стягивать к точке. Понятно, что поток начинает уменьшаться, однако отношение потока к объему, охваченному этой поверхностью, будет конечной величиной – это отношение и называется дивергенцией.
Дивергенцией векторного поля в точке пространства называется следующий интеграл.
, div – дивергенция.
Очевидно, если div>0, то в точке пространства находится источник поля; если div r; j; z),
c)Сферическая (r, j, q ).
4.Теорема Остроградского – Гаусса
Данная теорема связывает поверхностный и объемный интеграл.
5.Теорема Гаусса в физике
Это теорема Гаусса в интегральной форме.
Оказывается, что данное выражение справедливо для любого распределения зарядов.
Поток напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность определяется зарядом внутри этой поверхности.
Отсюда следует теорема Гаусса в дифференциальной форме:
6.Поле бесконечной плоскости
Будем считать, что заряд существует и на одной поверхности.
>
Очевидно, что поле не зависит от расстояния, т.е. однородно. Если выберем 0 на плоскости и обозначим ось x, то
На самой плоскости нормальная составляющая напряженности испытывает разрыв и терпит скачок.
7.Поле двух разноименно заряженных плоскостей
8.Поле шара
Очевидно, что поле шара вне шара, поле сферы вне сферы и поле точечного заряда совпадают.
Расчет теоремы Остроградского-Гаусса для полей в диэлектрике
Теорема Остроградского-Гаусса: история открытия
Теорема Остроградского-Гаусса или теорема о дивергенции — один из основополагающих законов электродинамики, устанавливающий связь между электрическими зарядами и электрическим полем.
В отличие от закона Кулона теорема Остроградского-Гаусса позволяет выразить свойства электростатического поля в более общей форме.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В этом заключается суть теоремы Остроградского-Гаусса. Ее можно сформулировать как совокупный поток напряженного электрического поля, проходящий через плоскость, окружающую заряд, пропорционален величине заряда.
Теорема активно используется в электродинамике, а для более сложных полевых теорий, существуют ее обобщения и аналоги.
Теорема была выведена двумя учеными независимо друг от друга. Российский математик Михаил Остроградский в 1828 году вывел теорему, применимую для векторного поля любой природы, а то время как его немецкий коллега Карл Гаусс, увлекшись изучением магнетизма и электрических полей, представил миру свою теорему применительно к электростатическому полю.
Михаил Остроградский доказал теорему электростатики через уравнение дифференциальной формы, в то время как Карл Гаусс в 1839 году получил аналогичный результат в интегральной форме.
Физический смысл формулы
Физический смысл формулы сводится к тому, что поток электрической индукции ( \(D\) ) через любую замкнутую поверхность \(S\) пропорционален суммарному заряду, заключенному внутри этой поверхности ( \(q\) ).
Проекция \(\overrightarrow E\) на направление внешней нормали одинакова на каждой точке поверхности \(S_1\) и вычисляется по формуле:
В таким случае поток через \(S_1\) можно узнать, применив формулу:
Пример
Формула для нескольких зарядов будет записываться следующим образом:
Вывод формулы в дифференциальной форме
Дифференциальная форма теоремы используется для расчета электростатического поля в случае произвольного пространственного распределения зарядов. В этой форме отражена связь между объемной плотностью заряда \(\rho\) и изменением \(\overrightarrow E\) вокруг этой точки пространства.
Используем теорему Остроградского-Гаусса, в соответствии с которой поток вектора \(\overrightarrow A\) через любую замкнутую поверхность равняется интегралу от его дивергенции по объему, охваченному этой поверхностью:
Пример
Этим же способом определяется дивергенция любого векторного поля.
Применение формулы
Формула используется для того, чтобы преобразовать объемный интеграл в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.
Применение теоремы
Для расчета электростатического поля
Теорема Остроградского-Гаусса применяется для расчета электростатического поля для тех задач, где поле имеет специальную симметрию. Например, плоскую, цилиндрическую или сферическую. В данном случае на эффективность применения теоремы влияют симметрия и конфигурация поля, которые должны соответствовать двум условиям:
Если исходные данные не соответствуют условиям, то при решении задачи необходимо использовать другие методы.
Для плоскости
Рассмотрим применение теоремы для равномерно заряженной плоскости.
Задача
Так как напряженность поля равна на любых расстояниях от плоскости, в вычисления не нужно включать длину цилиндра. Если плоскость заряжена, то направление векторов изменяется на противоположное.
Для сферической поверхности
Задача
В диэлектрике
Диэлектрики влияют на электрического поле. Это влияние выражается в ответном действии поляризационных зарядов, которые возникают в поле. Исходя из этого теорему Остроградского-Гаусса для тел в вакууме можно видоизменить, прибавив к свободным зарядам поляризационные, и тогда эту теорему можно применять в диэлектрической среде.
Теорема будет выглядеть так: \(\oint_s\overrightarrow Dd\overrightarrow S=\sum_^Nq_i=Q(2)\)
Для расчета магнитного поля
Выделим элементарную бесконечно малую площадку \(dS\) в магнитном поле. Предположим, что она настолько маленькая и плоская, что вектор B можно признать одинаковым по величине и направлению в каждой точке магнитного поля, независимо от того однородно оно или нет.
Определение потока магнитной индукции через произвольную поверхность звучит как сумма потоков через элементарные площадки, на которые разбита эта поверхность, и выражается в виде интеграла по этой поверхности:
Области применения теоремы
Ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в формулировке общих свойств электрического поля. Она — один из основных постулатов теории электричества. Поэтому широко применяется в общей и учебной физике и таких ее областях как электромагнетизм, электростатика и механика, с ее помощью решают задачи и изучают векторные (в том числе электромагнитные) поля.
Кроме этого теорема применяется в электродинамике, гидродинамике и математическом анализе.
Следовательно, для потока системы точечных зарядов можно записать:
Используем формулу (1), получаем, что:
В таком случае формулу (4) перепишем в виде:
Равенства в уравнении (9) выполняются для любого объема, а это осуществимо только, если функции, которые находятся в подынтегральных выражениях, равны в каждой токе пространства, то есть мы можем записать, что:
Готовые работы на аналогичную тему
Задание: Заряд равномерно распределен по объему, в этом объеме выделена кубическая поверхность, со стороной b. Она вписана в сферу. Найдите отношение потоков вектора напряженности сквозь эти поверхности.
Следовательно, нам необходимо определить объемы куба и шара, если шар описать вокруг этого куба. Для начала, объем куба ($V_k$) если сторона его b равен:
Найдем объем шара ($V_$) по формуле:
В таком случает длина диагонали (1,5) равна:
Подставим в (1.3) найденный диаметр шара, получим:
Теперь мы можем найти потоки вектора напряженности через поверхность куба, она равна:
через поверхность шара:
Ответ: Поток через поверхность шара в 2,7 раза больше.
Задание: Докажите, что заряд проводника располагается на его поверхности.
Используем для доказательства теорему Гаусса. Выделим в проводнике замкнутую поверхность произвольной формы около поверхности проводника (рис.2).
\(\circ\) Докажем сначала формулу Остроградского Гаусса в одном важном частном случае, когда область \(G\) еще и элементарна относительно всех трех координатных осей. Напомним, что область \(G\) называется элементарной относительно оси \(z\), если найдутся две такие непрерывные в замыкании области \(\Omega \subset \boldsymbol^<2>\) функции \(\varphi(x, y)\) и \(\psi(x, y)\), что $$ G = \ <(x, y, z): \varphi(x, y) Рис. 56.1
Аналогично, воспользовавшись элементарностью области относительно осей \(x\) и \(y\), докажем, что $$ \iiint\limits_ \frac<\partial P> <\partial x>dx\ dy\ dz = \iint\limits_ <\partial G>P\ dy\ dz,\quad \iiint\limits_ \frac<\partial Q> <\partial y>dx\ dy\ dz = \iint\limits_ <\partial G>Q\ dz\ dx.\label $$ Складывая равенства \eqref и \eqref, получим формулу \eqref.
Примерами областей, элементарных относительно всех трех координатных осей, являются шар, куб, симплекс (фигура, получающаяся при пересечении четырех полупространств (рис. 56.2)).
Рис. 56.2
Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — вершины симплекса, треугольники \(ABC\), \(ABD\), \(ACD\) и \(BCD\) — грани симплекса.
Дальнейшая схема последовательного расширения класса областей, для которых справедлива формула \eqref, такая же, как и при доказательстве формулы Грина на плоскости.
Будем называть область \(G\) объемно односвязной, если для любой ограниченной области \(\Omega\) из условия \(\partial \Omega \subset G\) следует, что и \(\Omega \subset G\). Для простоты будем говорить просто “односвязная область”. Формулу \eqref теперь можно обобщить на ограниченную односвязную область \(G\) с кусочно гладкой границей, которая кусочно гладкой перегородкой делится на две области, \(G_<1>\) и \(G_<2>\), элементарные относительно всех трех координатных осей. При этом \(\partial G_ <1>= \Sigma_ <1>\cup \Sigma_<3>\), \(\partial G_ <2>= \Sigma_ <2>\cup \Sigma_<3>^<->\), \(\partial G = \Sigma_ <1>\cup \Sigma_<2>\). Если \(\partial G_<1>\) и \(\partial G_<2>\) ориентированы внешними нормалями, то \(\Sigma_<3>\) и \(\Sigma_<3>^<->\) ориентированы противоположно (рис. 56.3).
Рис. 56.3
Складывая эти формулы и учитывая, что потоки через перегородку взаимно уничтожаются, получаем формулу \eqref для области \(G\).
Далее индукцией формула \eqref распространяется на односвязные области с кусочно гладкой границей, которые при помощи \(n\) непересекающихся гладких перегородок разбиваются на области, элементарные относительно всех трех координатных осей. Примером таких областей являются выпуклые многогранники, возникающие как пересечение конечного числа полупространств. Их всегда можно представить как объединение симплексов. Можно распространить формулу \eqref и на произвольные многогранники — связные множества в \(\boldsymbol^<3>\), являющиеся объединением конечного числа симплексов, причем два симплекса могут пересекаться только по одной из граней и каждая грань может быть общей не более чем для двух симплексов.
Предельный переход от многогранников к произвольной односвязной области с кусочно гладкой границей требует преодоления некоторых нетривиальных технических трудностей. \(\bullet\)
Формула \eqref подобно формуле Грина может быть обобщена на некоторые неодносвязные области. Область с одной “дырой” будем называть двусвязной. Другими словами, двусвязная область — это область \(G\) такая, что \(G = G_<1>/\overline_<2>\), где \(G_<1>\)\ и \(G_<2>\) — односвязные области и \(\overline_ <2>\subset G_<1>\). Будем поверхность \(\partial G_<1>\) называть внешней границей двусвязной области \(G\), a \(\partial G_<2>\) — внутренней границей \(G\) (рис. 56.4).
Рис. 56.4
Будем каждую из поверхностей \(\partial G_\) ориентировать внешними по отношению к соответствующей области \(G_<1>\) или \(G_<2>\) нормалями. Тогда, разрезая гладкой перегородкой область \(G\) на две односвязные области, применяя к каждой из областей формулу \eqref, складывая полученные формулы и учитывая, что потоки через перегородку должны взаимно уничтожаться, получаем формулу \eqref для двусвязной области $$ \iiint\limits_ \operatorname
Здесь под границей \(\partial G\) понимается объединение внешней и внутренней границ, ориентированных внешними по отношению к области \(G\) нормалями. Формула \eqref обобщается на \(n\)-связную (с \(n\) “дырами”) ограниченную область с кусочно гладкими границами.
Некоторые применения формулы Остроградского—Гаусса.
Формула Остроградского-Гаусса является основным инструментом, позволяющим переходить от записи законов природы в виде законов сохранения к записи в виде дифференциальных уравнений. С многочисленными примерами читатель встретится при изучении основ гидродинамики и других разделов физики. Многочисленны применения формулы Остроградского-Гаусса и в математике.
Для полноценного описания электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме достаточно экспериментально подтвержденного закона Кулона и принципа суперпозиции. Но при этом существует возможность свойства электростатического поля охарактеризовать в ином обобщенном виде, не опираясь на утверждения касательно кулоновского поля точечного заряда.
Поток вектора напряженности
Δ Φ = E Δ S cos α = E n Δ S.
Φ = ∑ ∆ Φ i = ∑ E m ∆ S i
Когда речь идет о поверхности замкнутого типа, всегда используется внешняя нормаль.
Теорема Гаусса. Доказательство
Теорема или закон Гаусса для электростатического поля в вакууме является одним из основных электродинамических законов.
Уравнение Гаусса имеет вид:
Φ = 1 ε 0 ∑ q в н у т р
где R является радиусом сферы.
Так, мы доказали теорему Гаусса.
Теорема Гаусса, по сути, есть следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако, взяв за изначальную аксиому утверждения теоремы, следствием станет закон Кулона, в связи с чем теорему Гаусса порой называют альтернативной формулировкой закона Кулона.
Опираясь на теорему Гаусса, в определенных случаях легко определить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела (при наличии заранее угаданных симметрии заданного распределения зарядов и общей структуры поля).
Применение теоремы Гаусса
Если r ≥ R , то весь поток вектора напряженности пройдет через боковую поверхность цилиндра, поскольку поток через оба основания есть нуль. Формула площади боковой поверхности цилиндра запишется как: 2 π r l . Применим закон Гаусса и получим:
В указанном выражении τ является зарядом длины цилиндра. Далее можно записать:
Данное выражение не имеет зависимости от радиуса R заряженного цилиндра, а значит оно применимо и к полю длинной однородно заряженной нити.
Точно так же теорема и формула Гаусса применимы для определения электрического поля в иных случаях, когда распределение зарядов охарактеризовано какой-либо симметрией, к примеру, симметрией относительно центра, плоскости или оси. Во всех этих случаях необходимо выбирать замкнутую гауссову поверхность подходящей формы.
К примеру, в случае центральной симметрии поверхность оптимально выбрать в виде сферы, у которой центр расположен в точке симметрии. Когда мы имеем симметрию относительно оси, подходящим видом замкнутой поверхности будет соосный цилиндр, закрытый с обоих торцов (аналогично рассмотренному выше примеру).
При отсутствии симметрии и невозможности угадать общую структуру поля, теорема Гаусса не сможет быть применена для упрощения решения задачи по определению напряженности поля.
Здесь гауссову поверхность S оптимально задать как цилиндр некой длины, замкнутый с обоих концов. Ось цилиндра является перпендикуляром к заряженной плоскости; в свою очередь, торцы цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от нее. В соответствии с симметрией поле равномерно заряженной плоскости должно везде иметь направление по нормали. Применим теорему Гаусса и получим:
Здесь σ является поверхностной плотностью заряда или зарядом, приходящимся на единицу площади.
Выражение, которое мы получили для электрического поля однородно заряженной плоскости, возможно использовать и для плоских заряженных площадок конечного размера: здесь расстояние от точки, в которой мы определяем напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значимо меньше размеров площадки.
и некоторая поверхность S. На этой поверхности мы выберем маленькую площадку dS, покажем нормаль к этой точке 
.
вектора 
через произвольную поверхность площади S называется поверхностный интеграл следующего вида:
,где 
– произведение нормали на площадь.
,
– интеграл по замкнутой поверхности.
, div – дивергенция.
Рис. 56.1
Рис. 56.2
Рис. 56.3
Рис. 56.4
