уравнение движения жидкости в форме эйлера

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

Источник

4.1. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера

выделенного элемента жидкости, масса которого равна ρ dxdydz в проекции на оси координат. При этом используем принцип Д’Аламбера: силы, действующие на элемент жидкости в каждый момент времени, уравновешиваются силами инерции.

Рис. 4.1. Элементарный объем

тогда разность сил давления на левую и правую грань (вдоль оси Ox ) равна

этих ускорений на массу параллелепипеда:

Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси теперь запишутся в следующем виде:

ρ dxdydz dc dt x = X ρ dxdydz − dð dx dxdydz ;

ρ dxdydz dc dt y = Y ρ dxdydz − dð dy dydzdx ;

и так называемое характеристическое уравнение, которое устанавливает зависимость между плотностью жидкости, давлением и

Для некоторых случаев движения предполагают, что плотность рассматриваемой среды зависит только от давленая и не зависит от температуры ρ = f ( p ), такая среда называется баротропной.

Граничные и начальные условия

Граничные условия могут быть весьма разнообразными и необходимы при решении задач с установившимся и неустановившимся движением. Граничные условия делятся на кинематические и динамические.

Кинематические граничные условия сводятся к заданию скорости (по величине или направлению) или ее производных на внешней границе рассматриваемого объема жидкости.

Динамические граничные условия сводятся к заданию давлений на внешней границе рассматриваемого движущегося объема жидкости (газа). В частности, если жидкость имеет свободную поверхность раздела в атмосфере, то во всех точках свободной поверхности давление должно равняться атмосферному. Это условие служит для определения формы свободной поверхности жидкости.

4.2. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости

в форме Навье – Стокса

Рис. 4.2. Элементарный объем

Согласно гипотезе Ньютона, при слоистом (ламинарном) течении жидкости сила трения между ее слоями равна

Источник

Модель идеальной жидкости. уравнения движения Л. Эйлера.

Модель идеальной жидкости. уравнения движения Л. Эйлера.

Они описывают идеальное движение жидкости по сжимаемости и несжимаемости. Их векторную форму можно легко получить из соответствующих уравнений Навье-Стокса и поместить в них V = 0. (5.10) найти (5.12) П (\!П) дгаи Р = yxdX,(5.38） Иначе говоря П-(1 / р) bgab п-ди / Д1 +(в) с,(5.39） И затем П (1 / р) dgayr-egyo = Ди / Д1-эээ. (5.40 утра )） Удобную форму уравнения сжимаемой жидкости для интегрирования можно получить, приняв прямое давление.

Колмогоров Андрей Николаевич (родился в 1903 году) ученый и выдающийся советский математик. Автор фундаментальных исследований в области теории вероятностей, теории функций, топологии и математической логики. Людмила Фирмаль

Для плоского течения с функцией потока φ (x, y) граничные условия твердой поверхности можно описать следующим образом: 1С Ф = ФО = сот!、 Оттуда, твердая стена 1 из потока, и значение функции потока φ0. Людмила Фирмаль

Смотрите также:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

3.4. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости в форме Эйлера.

Выделим в движущейся жидкости элементарную жидкую частицу в форме прямоугольного параллелепипеда, имеющую скорость u, и запишем ее уравнение движения в проекции на оси координат. Как и в случае рассмотрения равновесия жидкой частицы, на движущуюся частицу действуют поверхностные и массовые силы. Из массовых учтем только силу тяжести, т.е. Z=-g, X=Y=0. Тогда в проекции на ось z в соот­ветствии со вторым законом Ньютона можно записать:

=dxdy-()dxdy+.

Сократив все на элементарную массу получим:

= .

Аналогичные выражения можно получить и для двух других проекций уравнения движения, но без второго слагаемого в правой части, так как X=Y=0. Имея в виду, что гидродинамическое давление в невязкой жидкости не зависит от ориента­ции площадки в данной точке, окончательно уравнения движения невязкой жидкости, которые впервые были получены Эйлером,

.

Для замыкания данной системы уравнений обычно используют уравнение неразрывности.

Для решения любого уравнения необходимо задать граничные и начальные условия. Например, в качестве начальных условий при t=0 служат давление р=р₀ и скорость u=u₀.

Под граничными условиями понимают, например значения скоростей на границе с твердым телом (это кинематические граничные условия) или давления на границе (это динамические условия).

3.5. Интегрирование уравнений движения. Уравнение Бернулли.

Полагая движение установившимся, проинтегрируем уравнения движения вдоль линии тока. При установившемся движении частицы жидкости движутся по линиям тока, которые сов­падают с траекториями и за время dt проходят путь dl или в проекциях на оси координат:

Умножим каждую строчку системы соответственно на dx, dy, dz и получим:

.

Сложим полученные уравнения системы:

u_xdu_x+ u_ydu_y + u_zdu_z =(dx+dy+dz)-gdz;

помня, что члены уравнения с давлением образуют полный дифференциал давления, то есть dp=dx+dy+dz. А в левой части u_xdu_x=. Получаем:

+ +=dp—gdz;

Причем, ++,то =dp—gdz.

Внеся все под общий знак дифференциала, получим уравнение

.

Проинтегрировав данное уравнение приходим к уравнению Бернулли для невязкой жидкости.

.

3.6. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости.

При переходе от элементарной струйки идеальной жидкости к потоку вязкой жидкости, имеющему конечные размеры и ограниченному стенками, необходимо будет учесть, во-первых, неравномерность распределения скоростей по сечению и, во-вторых, потери энергии (напора). То и другое является следствием вязкости жидкости.

При движении вязкой жидкости вдоль твердой стенки, например в трубе, происходит торможение потока вследствие влияния вязкости, а также в результате действия сил молекулярного сцепления между жидкостью и стенкой. Поэтому наибольшей величины скорость достигает в центральной части потока; по мере приближения к стенке скорость уменьшается практически до нуля. Полу­чается распределение скоростей, подобное тому, которое показано на рисунке 26.

Неравномерное распределение скоростей означает скольжение (сдвиг) одних слоев или частей жидкости по другим, вследствие чего возникают касательные напряжения, т. е. напряжения трения.

Кроме того, движение вязкой жидкости часто сопровождается вращением частиц, вихреобразованиями и перемешиванием. На это затрачивается энергия, поэтому удельная энергия движущейся вязкой жидкости (полный напор) не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а постепенно расходуется на преодоление сопротивлений и, следовательно, уменьшается вдоль потока. Вследствие неравномерного распределения скоростей приходится вводить в рассмотрение среднюю по сечению скорость u_cр, а также среднее значение удельной энергии жидкости в данном сечении.

Прежде чем приступить к рассмотрению уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости допустим, что в пределах рассматриваемых поперечных сечений потока справедлив основной закон гидростатики, т. е., гидростатический напор есть величина одинаковая для всех точек данного сечения:

Источник