устойчивость формы потери устойчивости

Расчёт общей и местной устойчивости

Наиболее опасные предельные состояния связаны с потерей устойчивости элементов и системы в целом. В расчётном комплексе SCAD Office имеется режим проверки устойчивости, который позволяет вычислить:

Требования норм

Требования к проверке общей устойчивости стальных конструкций содержится в пункте 4.3.2 СП 16.13330.2011

Отношение критической нагрузки к расчетной для стержневых конструкций, рассчитываемых как идеализированные пространственные системы с использованием сертифицированных вычислительных комплексов (согласно 4.2.5, 4.2.6), должно быть не меньше коэффициента надежности по устойчивости системы ys = 1,3.

А к проверке железобетонных конструкций в приложении В СП 63.13330.2012 пункт В.8

При расчете на устойчивость конструктивной системы следует производить проверку устойчивости формы конструктивной системы, а также устойчивости положения конструктивной системы на опрокидывание и на сдвиг.

и в пункте 6.2.8 СП 52-103-2007:

…При расчете устойчивости формы конструктивной системы рекомендуется принимать пониженные жесткости элементов конструктивной системы (учитывая нелинейную работу материала), поскольку устойчивость конструктивной системы связана с деформативностью системы и отдельных элементов. При этом значение понижающих коэффициентов в первом приближении рекомендуется принимать, как указано в пп. 6.2.6, 6.2.7 с учетом того, что устойчивость конструктивной системы зависит от сопротивления в основном внецентренно сжатых вертикальных элементов при длительном действии нагрузки и в стадии, приближающейся к предельной. Запас по устойчивости должен быть не менее чем двукратным.

Задание исходных данных

Исходные данные для расчёта общей устойчивости системы находятся в специальных исходных данных:

В появившемся окне задаётся вид расчёта, верхняя граница поиска (граница выше которой поиск коэффициента запаса устойчивости не будет производиться, и от каких нагрузок или комбинаций будет производиться расчёт:

Более подробно об теоретическом обосновании можно прочитать в справке SCAD Office, особенно стоит обратить внимание на различия в результатах расчёта устойчивости стержней между строительными нормами и SCAD.

Анализ результатов

Коэффициент запаса устойчивости системы будет указан в протоколе, также там будет указан элемент с наименьшим коэффициентом запаса при неподвижных узлах системы.

Во вкладке перемещения — можно посмотреть формы потери устойчивости.

Во вкладке «Постпроцессоры»/»энергетический процессор» — элементы с отрицательной энергией будут ответственны за потерю устойчивости. Чем больше отрицательное значение у элемента, тем больше он отвечает за потерю устойчивости..

Дополнительная информация

А.В. Перельмутер В.И. Сливкер Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. 2011. Раздел 9. Задачи устойчивости и смежные вопросы.

Источник

Потеря устойчивости: причина внезапного обрушения зданий

Неустойчивость — опасное явление в механике конструкций, приводящее к внезапным и катастрофическим последствиям при малом повышении нагрузки. В этом посте мы рассмотрим некоторые классы задач неустойчивости и способы их анализа.

Что такое неустойчивость?

На вечеринках иногда показывают такой фокус: взрослый человек встает на пустую алюминиевую банку из-под напитка, и она не расплющивается под его весом.

Толщина алюминиевых стенок банки — всего 0,1 миллиметра, однако они способны выдержать нагрузку — при условии сохранения формы идеального цилиндра. Осевое напряжение меньше предельного напряжения сдвига: чтобы убедиться в этом, достаточно разделить силу на площать поперечного сечения.

Но если слегка нажать на точку на цилиндрической поверхности, банка сплющится. Сплющивающая нагрузка для идеального цилиндра больше веса человека, который показывает фокус, однако очень незначительное вмешательство способно существенно уменьшить устойчивость под нагрузкой. Это явление называется чувствительностью к дефектам. Это один из источников проблем при проектировании структур, которые должны быть устойчивы к сжатию. На этой странице показаны примеры сплющенных оболочек, размеры которых намного больше, чем у банки из-под напитка.

Математически потеря устойчивости является задачей о бифуркации. При определенном уровне нагрузки существует более одного решения. На диаграмме ниже показана точка бифуркации и три возможных траектории решения, исходящих из нее. Как показано на диаграмме, вторичная траектория может относиться к одному из трех фундаментально различных типов.

Решение с бифуркацией.

Если предельная нагрузка продолжает возрастать, то решение можно отнести к стабильным. Это наименее опасная ситуация, но если вы ее не распознаете, то в результате вычислений, скорее всего, получите слишком малые напряжения. Это приведет к недооценке предельной нагрузки.. Траектории, отмеченные как neutral (нейтральная) и unstable (нестабильная), являются более опасными, поскольку при пиковой нагрузке ограничения на смещение отсутствуют.

При наличии более одного решения возникает вопрос, какое из них является корректным. Все решения удовлетворяют уравнениям равновесия, но в реальном мире поведение структуры будет соответствовать одной определенной траектории. Будет реализована та траектория, которая позволяет минимизировать энергию. Решение, которое вы получите путем расчетов на основе стандартной линейной теории, в общем случае не всегда будет предпочтительным.

В качестве аналогии можно рассмотреть поведение шарика на волнистой поверхности. Он может находиться в равновесии как на вершине, так и в точке минимума, однако при любом возмущении он скатится в точку минимума. Точно так же даже малое возмущение в структуре подтолкнет ее к более энергетически выгодному состоянию. В реальном мире идеальных структур не бывает: в геометрии, материалах или нагрузках всегда будут определенные возмущения.

Линеаризованный анализ потери устойчивости

Самый простой подход к решению задачи потери устойчивости — линеаризованный анализ потери устойчивости. На начальных курсах инженерного дела такие задачи решаются на бумаге. Примером является расчет критических нагрузок для стержней под сжатием (один из вариантов — формула Эйлера для критической нагрузки потери устойчивости продольно сжатого стержня).

В COMSOL Multiphysics существует специальный тип исследования — Линейная потеря устойчивости (Linear Buckling). В таком исследовании пользователь добавляет внешние нагрузки произвольного масштаба. Это может быть нагрузка на единицу площади или предполагаемая рабочая нагрузка. Исследование состоит из двух шагов исследования:

Коэффициентом критической нагрузки называется величина, на которую нужно умножить приложенные нагрузки, чтобы получить нагрузку потери устойчивости. Если моделирование осуществлялось с рабочими нагрузками, то коэффициент критической нагрузки может служить характеристикой запаса прочности. Коэффициент критической нагрузки может быть меньше единицы: это означает, что вы применили нагрузку, которая превышает критическую. Само по себе это не является проблемой, поскольку анализ линеен. Коэффициент критической нагрузки может быть даже отрицательным. Это означает, что минимальная нагрузка, необходимая для потери прочности, должна быть приложена в противоположном направлении.

Решение задачи о собственных значениях также предоставит вам сведения о форме моды потери устойчивости. Обратите внимание: форма моды известна лишь с точностью до произвольного множителя — так же, как собственная форма колебаний в анализе собственных частот.

Перед тем, как углубиться в подробности, следует предупредить читателя:

Формы двух симметричных рам с немного различными поперечными сечениями и равными симметричными нагрузками после потери устойчивости.

В линейном приближении матрица \mathbf K_ пропорциональна нагрузке, т. е.

По умолчанию вычисляется только одна мода потери устойчивости, соответствующая минимальной критической нагрузке. Вы можете выбрать расчет любого количества мод: для сложных структур это может представлять интерес. Для системы может существовать несколько мод потери устойчивости с близкими коэффициентами критической нагрузки. При этом минимальное значение может не соответствовать наиболее опасному на практике ввиду, например, чувствительности к дефектам.

В ПО COMSOL не следует отмечать этап исследования Линейная потеря устойчивости (Linear Buckling) как геометрически нелинейный. Нелинейные условия, определяющие \mathbf K_ , задаются отдельно. Однако, если вы все-таки выберете геометрическую нелинейность, вы будете решать следующую задачу:

,
и расчетный коэффициент критической нагрузки будет отличаться от правильного значения на единицу. Если моделируемая нагрузка мала по сравнению с критической, то этой разницей можно пренебречь.

Примером анализа линеаризованной потери устойчивости служит модель Linear Buckling Analysis of a Truss Tower (Линейный анализ потери устойчивости для башни с распорками).

Постоянные и переменные нагрузки

Математически задачу можно представить в виде

Такую задачу можно решить в COMSOL Multiphysics с помощью одного из двух подходов:

Программное обеспечение обладает высокой гибкостью, поэтому встроенное исследование Потеря устойчивости легко изменить так, чтобы учитывать две отдельные системы нагрузок. Для этого в первую очередь нужно добавить дополнительный интерфейс физик, который используется только для расчета напряженного состояния, обусловленного исключительно постоянной нагрузкой. Проведите решение для этого интерфейса только на шаге стационарного анализа, не переходите к шагу потери устойчивости.

Дополнительный интерфейс физик на шаге Линейная потеря устойчивости неактивен.

Далее необходимо сформировать вклад дополнительной матрицы жесткости в исследование потери устойчивости на основе напряжений, которые были рассчитаны во втором интерфейсе физик. Для этого добавьте следующий сверхмалый вклад:

Здесь \boldsymbol \sigma^ — тензор напряжений постоянной нагрузки, \mathbf E и \boldsymbol \epsilon — тензор деформации Грина — Лагранжа и тензор линейной деформации соответственно. Другими словами, разность \mathbf E-\boldsymbol \epsilon содержит квадратичные члены тензора деформации Грина — Лагранжа.

Вклад системы постоянных нагрузок для двумерной задачи по механике твердого тела.

После этого можно запустить исследование как обычно. Рассчитанный коэффициент критической нагрузки применяется только ко второй системе нагрузок.

Анализ поведения системы после потери устойчивости

Линеаризованный анализ потери устойчивости позволяет определить только критическую нагрузку, но не поведение системы после ее достижения. Во многих случаях вам требуется лишь защитить систему от достижения нагрузки, при которой происходит потеря устойчивости. Для решения таких задач достатрочно линеаризованного исследования.
Однако иногда вам потребуется полное представление о ходе деформации. Возможные причины:

Для анализа поведения системы после потери устойчивости вам необходимо последовательно загружать структуру и отслеживать изменения кривой отклонения под нагрузкой. Для этого можно воспользоваться решателем параметрической непрерывности, который входит в состав ПО COMSOL.

Анализ поведения системы после потери устойчивости — нетривиальная задача. Ей присуща неотъемлемая проблема: у задачи бифуркации несколько решений — как определить, что вы получили подходящее? Кроме того, во многих случаях исленным проявлением потери устойчивости служит плохообусловленная или вырожденная матрица жесткости. Тогда решатель будет сходиться лишь в том случае, если вы воспользуетесь подходящими методами моделирования. Ниже я вкратце описал несколько полезных подходов.

Симметричные структуры

Рассмотрим простой случай — например, консольную балку, к торцу которой приложена сжимающая нагрузка. При достижении сплющивающей нагрузки в трехмерном случае балка отклоняется в произвольном направлении, в двумерном случае — в одном из двух возможных направлений. При любом из этих решений схождение решателя маловероятно, если симметрия не нарушена, поскольку задачи с симметрией при нагрузке, приводящей к потере устойчивости, становятся вырожденными. Если вы добавите небольшую поперечную нагрузку, приложенную к торцу, то сможете легко выполнить трассировку решения. Примером использования такого метода служит модель Large Deformation Beam (Балка при больших деформациях).

Задачи с быстрым переключением между состояниями

Во многих случаях структура переходит из одного состояния в другое практически мгновенно. Ниже приведен простой пример: ферма, состоящая из двух стержней.

Анализ быстрого перехода для простой фермы. При отклонении 0.2 оба стержня находятся в горизонтальном положении.

При увеличении силы в точке A достигается максимальное значение. Матрица жесткости при этом становится вырожденной. Физически структура при этом примет обратную форму и перейдет в состояние B. Этот переход на графике отмечен красными точками. В реальности переход будет динамическим. Накопившаяся энергия деформации будет высвобождена и преобразована в кинетическую энергию.

Один из способов решения этой задачи — провести временной анализ, в котором инерционные силы будут уравновешивать внешние нагрузки и внутренние силы упругости. Однако такой подход требует больших вычислительных ресурсов и поэтому используется редко.

Чтобы провести трассировку вдоль сплошной зеленой линии, можно заменить установленную нагрузку на установленное смещение и регистрировать силу противодействия. Замена нагрузок установленными смещениями — простой способ стабилизировать модель, однако у этого метода есть ограничения:

Ниже описан более общий метод. Вначале рассмотрим пологую цилиндрическую оболочку, как на рисунке ниже. К ее центру приложена одноточечная нагрузка, что подталкивает нас применить управление по смещению. Но, как показывает график ниже, ни сила, ни смещение под действием этой силы в ходе потери устойчивости не изменяются монотонно.

Пологая цилиндрическая оболочка и график зависимости смещения от нагрузки.

Анимация процесса потери устойчивости.

Для таких задач в литературе рекомендуют использовать решатель по длине дуги. Одним из методов такого рода является популярный метод Рикса. Нас часто спрашивают, почему мы не добавляем такой решатель в наш пакет. Простой ответ: он нам не нужен.

С такой задачей можно легко справиться с помощью решателя непрерывности (continuation solver), который входит в состав COMSOL Multiphysics, если знать, как это сделать. Все, что вам требуется — определить количественную характеристику модели, которая будет монотонно возрастать, а затем воспользоваться ей для управления анализом. Например, в вышеописанной модели в качестве управляющего параметра вы можете выбрать усредненное вертикальное смещение поверхности оболочки.

После этого добавьте интенсивность нагрузки в качестве дополнительной степени свободы для задачи с помощью Глобального уравнения (окно Global Equations). Требуется обеспечить соответствие системы следующему уравнению: среднее смещение, определяемое с помощью оператора усреднения, должно быть равно параметру непрерывности (на снимке экрана выше он называется disp ).

Добавление Глобального уравнения для управления нагрузкой.

Стационарный решатель, настроенный для расчета непрерывности.
Полную модель можно загрузить из Галереи моделей (Model Gallery).

Область применимости описанного выше метода не ограничивается задачами потери устойчивости в механике. Его можно использовать для решения любой неустойчивой задачи — например, для анализа процессов активации в электромеханических системах.

Дефекты

В некоторых случаях требуется выполнить моделирование дефектов в явном виде. К примеру, существуют стандарты, согласно которым нагрузка должна обладать определенным эксцентриситетом, а балка — определенной предполагаемой внутренней кривизной. При добавлении дефекта кривая отклонения под нагрузкой совершает переход между двумя ветвями идеальной кривой бифуркации.

Траектория решения для модели, изначально содержащей дефекты.

При добавлении возмущения к модели, геометрия которой чувствительна к дефектам, максимальная нагрузка может существенно снизиться. Именно это происходит с алюминиевой банкой в описанном выше примере. Такое поведение не является побочным эффектом моделирования с помощью метода конечных элементов — оно отражает физическую реальность. Поэтому для структур такого типа особенно важно учитывать дефекты.

Траектория решения для модели, чувствительной к дефектам.

Как выбрать подходящий дефект для вашей модели?

Хорошей стратегией будет — вначале провести линеаризованный анализ потери устойчивости, а затем использовать вычисленную форму моды в качестве дефекта. Идея заключается в том, что структура будет наиболее чувствительна именно к этой форме. Точно передавать форму при этом не требуется: достаточно приблизительного соответствия. Величина возмущения должна примерно соответствовать ожидаемым значениям для реальной структуры с учетом технологических допусков и условий эксплуатации.

В некоторых случаях стоит рассчитать несколько мод потери устойчивости и проверить несколько из них, если коэффициенты критической нагрузки оказались одного порядка. Чувствительность к дефектам для различных мод потери устойчивости может сильно отличаться.

Часто проще не изменять геометрию модели, а добавить возмущение с помощью дополнительной нагрузки. В таком случае вы сможете быть уверены,что напряжения, вызванные этой нагрузкой, не приведут к существенному изменению задачи.

Источник

Устойчивость формы потери устойчивости

65. Устойчивость сооружений

65.1. Предмет и задачи устойчивости

Кроме прочности и жесткости, сооружение обязательно должно быть устойчивым. Это потому, что при потере устойчивости сооружение или разрушается, или становится непригодным для дальнейшей эксплуатации. Например, даже такой простейший элемент как прямолинейный длинный стержень при действии продольной сжимающей силы может резко изогнуться и потерять свою первоначальную прямолинейную форму. В практике строительства и эксплуатации различных сооружений (мостов, высотных зданий и др.) известны случаи их разрушения из-за потери устойчивости.

Устойчивость – это способность сооружения сохранять свое первоначальное положение или форму.

Ответ на вопрос «устойчиво или неустойчиво сооружение?» является очень важной задачей, потому что для потери устойчивости сооружения, достигшего критического состояния, достаточно и незначительной причины. Если же процесс потери устойчивости начался, он идет очень быстро и приводит к резкому изменению первоначальной формы или разрушению частей или всего сооружения.

В соответствии с этим надо различать устойчивость поло­жения сооружения и устойчивость форм равновесия в нагруженном состоянии.

Устойчивость положения – это способность сооружения сохранять свое положение. Например, при действии на подпорную стенку нагрузки q (рис. 65.1, а), относительно точки А создается опрокидывающий момент M опр = q h 2 /2 , от чего подпорная стенка может потерять устойчивость (рис. 65.1, б). Этому противостоит собственный вес подпорной стенки G, создающий удерживающий момент M уд = Gl . Устойчивость системы зависит от соотношения этих моментов, так как при :

1) M опр M уд – система устойчива;

2) M опр > M уд – система неустойчива;

3) M опр = M уд – система безразлична.

Устойчивость формы – способность сооружения сохранять свою первоначальную форму.

Например, если верхний конец стержня с действующей продольной силой P немного отклонить в сторону (рис. 65.2, а), он при P P _кр вернется в исходное положение. Такая система является устойчивой.

Если же P> P _кр , перемещения стержня начинают возрастать (рис.65.2, б). Такая система в исходное состояние вернуться не может. Поэтому ее называют неустойчивой.

Если P= P _кр , система остается в безразличном состоянии (рис. 65.2, в).

Таким образом, в зависимости от величины приложенной нагрузки система может быть устойчивой, неустойчивой или безразличной. На рисунках 65.2, а-в показаны схематические аналоги устойчивой, неустойчивой и безразличной систем.

Потеря устойчивости делится на 2 рода.

Потеря устойчивости первого рода (потеря устойчивости по Эйлеру) связана с появлением нового вида деформации и характеризуется нарушением равновесия между нагрузкой и внутренними усилиями и свойственна только упругим системам. Она может быть трех типов:

– потеря устойчивости центрального сжатия (рис. 65.2, б);

– потеря устойчивости симметричной формы деформации (рис. 65.3, а, б);

– потеря устойчивости плоской деформации (рис. 65.3, в).

Потеря устойчивости второго рода наблюдается при потере несущей способности всего сооружения и характеризуется резким возрастанием предыдущих деформаций. В этом случае равновесие между нагрузкой и внутренними усилиями нарушается даже без появления новых видов деформаций (рис. 65.4, а-в):

Если на систему действует несколько сил (рис. 65.5, а), определять их критические значения одновременно довольно трудно. Поэтому одну из сил (обычно наибольшую) принимают за основную и обозначают P, а остальные выражают через него (рис. 65.5, б). Тогда вместо определения нескольких критических сил можно определять только одну (наибольшую).

65.2. Критерии определения устойчивости упругих систем

Расчеты на устойчивость проводят обособленно от расчетов на прочность, являющихся основными.

Исследование устойчивости ведутся при следующих допущениях:

— рассматривают только узловое приложение нагрузки, при этом поперечный изгиб стержней отсутствует;

— стержни рамы считают нерастяжимыми и несжимаемыми;

— расстояния между узлами при деформациях неизменяемые (это допущение применяют только при статическом методе расчета).

Расчет на устойчивость можно вести тремя методами: статическим, энергетическим и динамическим.

Статический метод основан на составлении уравнений статики. Суть статического метода заключается в следующем. Иссле­дуемой системе задается отклоненная форма равновесия, совпада­ющая по характеру перемещений с ожидаемой новой формой рав­новесного состояния системы после потери устойчивости системы, и определяются значения рассматриваемых внешних нагрузок, способных удержать систему в новой форме равновесного состоя­ния.

Значения внешних нагрузок, способных удержать систему в новом равновесном состоянии, при соблюдении граничных усло­вий по исходному состоянию, является критическим.

Алгоритм статического метода состоит из трех этапов:

– задать системе малые перемещения;

– составить уравнения равновесия внешних и внутренних сил;

– из этих уравнений определить критическую силу.

В дальнейшем, здесь рассматривается решение задач теории устойчивости с применением только статического критерия, так как он является основным критерием при выполнении практиче­ских расчетов упругих консервативных систем.

В общем случае изменение ( вариацию) полной потенциаль­ной энергии системы dU при переходе ее от рассматриваемого состояния к соседнему можно записать таким образом:

Следовательно, критическое состояние системы, согласно энер­гетического критерия, определяется из условия

Алгоритм энергического метода состоит из трех этапов:

– задать системе малые перемещения;

– определить приращения работ внешних и внутренних сил;

– из условия их равенства определить критическую силу.

Следовательно, при решении задач по динамическому крите­рию составляется уравнение собственных колебаний заданной си­стемы, далее определяется выражение частот собственных колеба­ний и из условия их равенства нулю определяется критическое значение внешних сил.

Так например, для сжатого осевой продольной силой P стержня постоянного поперечного сечения с распределенной массой, часто­та основного тона поперечных колебаний выражается формулой

,

Очевидно, что при , и период колебаний , т.е. стержень, колеблющийся около своего положения равновесия, не способен возвращаться к первоначальному состоя­нию.

Алгоритм динамического метода также состоит из трех этапов:

– задать системе малые перемещения;

– записать уравнение движения системы;

– из условия равенства нулю частоты собственных колебаний системы определить критическую силу.

Рассмотрим решение задачи устойчивости упругого стержня, постоянного поперечного сечения, расположенной на двух шар­нирно опертых концах, при действии продольной силы перемен­ной величины Р (рис.65.6).Впервые эта задача была поставлена и решена Л. Эйлером в середине XVIII века.

Обозначая величину прогибов стержня через y ( z) в сечении, расположенном на расстоянии z от начала системы координат y z, значения изгибающих моментов в указанном поперечном сечении от действия внешней силы Р принимают значения

.

Из теории изгиба, при малых прогибах и пренебрегая продоль­ными деформациями, деформированное состояние стержня за счет изгиба, описывается уравнением

. (1)

, (2)

уравнение (1) можно представить в следующем виде:

. (3)

Решение (3) имеет следующий вид:

. (4)

Произвольные постоянные С ₁ и С₂ определяются из граничных условий закрепления балки, т.е. y(0) = 0; y( l) = 0.

Из первого условия вытекает, что С ₂ = 0, а из второго

. (5)

Последнее уравнение имеет два возможных решения: либо С ₁ = 0, либо же .

В первом случае получается, что С ₁ = С₂ = 0 и перемещения согласно (4) тождественно равны нулю, т.е. y = 0. Это решение очевидно соответствует первоначальному равновесному сос­тоянию, которое нас не интересует. Во втором случае, т.е. пред­полагая, что С ₁ ¹ 0, из (5) следует, что . Откуда следует, что , где n = 1,2,3. С учетом выражения (13.2), получим . Наименьшая критическая сила получается при n=1:

. (6)

Эта сила носит название первой критической или эйлеровой силы. Решение (4) при С ₁ ¹ 0 C₂ = 0 принимает вид .

При выполнении практических расчетов, как правило, определяется критическое значение внешней силы, соответствующее низшей форме потери устойчивости системы. Поэтому мы далее будем рассматривать решение задачи по определению только наименьшего значения критических сил.

65.4. Устойчивость стержней с различными
концевыми условиями их закрепления

С целью введения различных условий закрепления в концевых сечениях стержня предполагается, что в новом равновесном (кри­тическом) состоянии (2) в общем случае могут быть приложены поперечные силы и изгибающие моменты. Кроме того, концевые сечения могут перемещаться перпендикулярно оси недеформиро­ванного стержня и поворачиваться вокруг оси x (рис.65.7).

Дважды дифференцируя каждый член уравнения (1), получим диф­ференциальное уравнение, описывающее деформированное состоя­ние рассматриваемого стержня в общем виде:

. (7)

Общее решение которого имеет вид:

. (8)

Составляя первые три производные от функции прогиба, соста­вим выражение для углов поворота, изгибающих моментов и попе­речных сил, возникающих в произвольном сечении, расположен­ном на расстоянии от начала принятой системы коорди­нат:

(9)

.

Продемонстрируем данный подход при решении задач по опре­делению критической величины силы Р для стержней с различ­ными концевыми условиями закрепления (рис.65.8).

В случае, когда стержень c двумя концами шарнирно оперт (p и c.65.8, а), граничные условия задачи имеют вид:

Подставляя выражения прогиба и изгибающего момента соответственно из (8) и (9) в граничные условия задачи, получим:

или .

С учетом (2), при n = 1, выражение наинизшего значения к p итичеcкой cилы Р_кр окон­чательно опpеделяетcя :

;

.

.

Из по c леднего ypавнения имеем, что C₄ = 0, cледовательно в пеpвом ypавнении C₁ = 0. Поэтом y cиcтема ypавнений пpеобpазyетcя к видy :

.

.

И наконец, p аccмотpим cтеpжень c двyмя защемленными кон­цами, изобpаженный на pиc.65.8, г, гpаничные ycловия котоpого yдовлетвоpяют ycловиям y(0) = y( l) = 0; y ¢ (0) = y ¢ ( l) = 0.

.

.

65.5. Выражения изгибающих моментов и поперечных
сил в концевых сечениях стержней

Следуя статическому критерию, при решении задач устойчи­вости рамных систем, метод перемещений, наряду с другими клас­сическими методами, является наиболее эффективным методом.

При применении метода перемещений для решения задач ус­тойчивости статически неопределимых рамных стержневых систем, важным этапом является определение выражения внутренних уси­лий узловых сечениях элементов основной системы, с учетом нали­чия продольной силы при единичном угловом или линейном сме­щении узлов основной системы.

В связи с этим для расчета рам на устойчивость необходимо предварительно определить выражение изгибающих моментов и поперечных сил в концевых сечениях стержней при различных концевых условиях их закрепления и одновременном действии продольной сжимающей силы и единичном линейном или угловом смещении одного из концов рассматриваемого стержня.

Откуда, определяя выражения постоянных и подставляя в выражения (8) и (9), получим:

(10)

Подробно рас­смотрим стержень, изображенный на рис.65.9 при = 1. Для деформирован­ного состояния (2) имеем следующие граничные условия:

С учетом последних условий из первых двух уравнений (10) получим

(11)

Вводя обозначения : ; ; ;

; .

Решение систем уравнений (11) можно записать в следующем виде (значения специальных функций приведены в табл.1):

, .

Опорные реакции Q_l и M_l на противоположном конце стержня определяются из условия ее равновесия, т.е. Из первого уравнения получим , а из второго

Теперь предположим, что продольная сжимающая сила Р = 0. В этом случае все расчетные зависимости сильно упрощаются и принимают вид:

; ; ; ; .

Выражения изгибающих моментов и поперечных сил из (10) также сильно упрощаются, учитывая, что при P ® 0 и , а в этом случае ; последние два выражения (10) принимают общеизвестный вид и записы­ваются следующим образом : ; .

Источник