Двоичная система счисления
Двоичный код — понятие, которое кажется сложным большинству людей. Однако на самом деле это одна из самых простых шифровальных систем в мире. Более того, мы сталкиваемся с ней ежедневно в обычной жизни.
Например, в наших компьютерах хранится самая различная информация — текстовые файлы, видеоролики, аудиозаписи и изображения. Но в виде картинок, текстов и мультимедийных файлов эту информацию видим только мы — а сам компьютер воспринимает и обрабатывает любые сведения в форме двоичного кода.
Двоичная система счисления — что это такое?
Двоичный, или, как еще его называют, бинарный код — шифр, состоящий всего из двух символов. Его можно сравнить с азбукой Морзе, где используются только тире и точки в разных комбинациях — морзянкой передают сколь угодно сложные сообщения.
Двоичный код чаще всего представлен нулем и единицей. Но это не обязательно — двоичного кода можно брать и любые другие обозначения, главное, чтобы эти символы были противоположными или взаимоисключающими по сути.
Что такое разрядность двоичного кода?
Одним из важных свойств двоичной системы является понятие разрядности — этим словом называют количество позиций, используемых в конкретном коде для составления комбинаций.
Смысл разрядного двоичного кода заключается в том, что одно и то же число в нем можно обозначить разными комбинациями символов — например, обозначения 0001, 001, 01 и 1 будут подразумевать одно и то же число «1». Читают разряды не так, как текст, а справа налево. Как правило, на практике код бывает 4, 8, 16, 32 и 64 разрядным — в зависимости от объема информации и специфики решаемой задачи.
У неопытного пользователя может возникнуть вопрос — какой смысл в двоичной системе, и не проще ли обходиться без нее? Однако когда речь идет о сложной вычислительной технике, то оперировать огромным множеством простейших элементов для нее удобнее, нежели обращаться с малочисленными, но сложными символами.
Иллюстрированный самоучитель по цифровой графике
Разряды и разрядность
Обратимся к табл. 4.6 и выпишем ряд десятичных чисел, которые равны «круглым» двоичным числам. В этот ряд входят следующие десятичные числа: «2», «4», «8», «16», «32», «64», «128», «256», «512» и, наконец, сакраментальное «1024». Все эти числа представляют ряд последовательных степеней числа «2». Каждое из названных чисел чрезвычайно активно используется в компьютерных технологиях. Читатель, видимо, убеждался в этом не один раз.
Мы оперируем каким-либо двоичным числом, а любое двоичное число – это совокупность битов, т. е. «1» и «0». Отсюда получается, что каждый бит – это один разряд или одна позиция в двоичном числе.
Замечание
Надеемся, что вы еще не забыли о позиционном принципе записи чисел в любых математических системах счисления (значение цифр, количество которых ограничено, зависит от положения в числе, от ее позиции).
В данный момент мы делаем шаг в сторону абстрагирования от конкретных значений цифр и начинаем считать только количество знакомест (позиций), которое в математике принято называть «разрядом», а совокупность разрядов (знакомест) – «разрядностью».
Определение
Разряд в арифметике – это место, занимаемое цифрой при записи числа. Например, в десятичной системе счисления цифры первого разряда – это единицы, второго разряда – десятки и т. д.
Но арифметические законы, которые кажутся привычными в десятичной системе счисления, все без исключения действительны и для двоичной системы счисления. Двоичные числа также можно складывать, вычитать, перемножать и делить с использованием тех же приемов школьного курса арифметики. Отличие заключается только в том, что используются всего две цифры.
Кроме того, как мы уже выяснили, в двоичной системе счисления каждый разряд – это бит и его значение зависит от позиции и равно соответствующей степени числа «2».
Определение
Разрядность двоичного числа – это количество знакомест (разрядов) или количество битов, заранее отведенных для записи числа.
Пример
Десятичное число «2» может быть записано различными способами в зависимости от разрядности двоичного числа: как «10», если разрядность равна двум; как «0010», если разрядность равна четырем; как «00000010», если разрядность равна восьми. Обратите внимание, что последний вариант соответствует записи десятичного числа «2» в пределах одного байта информации.
Разрядность двоичного числа интересует нас в связи с тем, что это количество разрядов (позиций или знакомест) обеспечивает определенный набор возможных двоичных чисел, которые, как мы уже договорились, могут служить кодами, с помощью которых происходит кодирование любых видов информации: собственно чисел, текстов, графических и цветных изображений, звуков, анимации и видео.
Осталось только выяснить, каким образом разрядность влияет на количество информации (двоичных кодов), которую можно получить с помощью определенного количества разрядов. Однако прежде следует учесть одну особенность двоичных чисел, нашедшую применение в компьютерных технологиях, – это фиксированные значения разрядности двоичных чисел.
Информатика. 7 класс
Конспект урока
Кодирование информации. Двоичный код
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Дискретизация информации – процесс преобразования информации из непрерывной формы представления в дискретную. Чтобы представить информацию в дискретной форме, её следует выразить с помощью символов какого-нибудь естественного или формального языка.
Алфавит языка – конечный набор отличных друг от друга символов, используемых для представления информации. Мощность алфавита – это количество входящих в него символов.
Алфавит, содержащий два символа, называется двоичным алфавитом. Представление информации с помощью двоичного алфавита называют двоичным кодированием. Двоичное кодирование универсально, так как с его помощью может быть представлена любая информация.
1. Босова Л. Л. Информатика: 7 класс. // Босова Л. Л., Босова А. Ю. – М.: БИНОМ, 2017. – 226 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Для решения своих задач человеку часто приходится преобразовывать имеющуюся информацию из одной формы представления в другую. Например, при чтении вслух происходит преобразование информации из дискретной (текстовой) формы в непрерывную (звук). Во время диктанта на уроке русского языка, наоборот, происходит преобразование информации из непрерывной формы (голос учителя) в дискретную (записи учеников).
Информация, представленная в дискретной форме, значительно проще для передачи, хранения или автоматической обработки. Поэтому в компьютерной технике большое внимание уделяется методам преобразования информации из непрерывной формы в дискретную.
Дискретизация информации – процесс преобразования информации из непрерывной формы представления в дискретную.
Рассмотрим суть процесса дискретизации информации на примере.
На метеорологических станциях имеются самопишущие приборы для непрерывной записи атмосферного давления. Результатом их работы являются барограммы – кривые, показывающие, как изменялось давление в течение длительных промежутков времени. Одна из таких кривых, вычерченная прибором в течение семи часов проведения наблюдений, показана на рисунке 1.
На основании полученной информации можно построить таблицу, содержащую показания прибора в начале измерений и на конец каждого часа наблюдений.
Полученная таблица даёт не совсем полную картину того, как изменялось давление за время наблюдений: например, не указано самое большое значение давления, имевшее место в течение четвёртого часа наблюдений. Но если занести в таблицу значения давления, наблюдаемые каждые полчаса или 15 минут, то новая таблица будет давать более полное представление о том, как изменялось давление.
Таким образом, информацию, представленную в непрерывной форме (барограмму, кривую), мы с некоторой потерей точности преобразовали в дискретную форму (таблицу).
В дальнейшем вы познакомитесь со способами дискретного представления звуковой и графической информации.
В общем случае, чтобы представить информацию в дискретной форме, её следует выразить с помощью символов какого-нибудь естественного или формального языка. Таких языков тысячи. Каждый язык имеет свой алфавит.
Алфавит – конечный набор отличных друг от друга символов (знаков), используемых для представления информации. Мощность алфавита – это количество входящих в него символов (знаков).
Алфавит, содержащий два символа, называется двоичным алфавитом (рис. 3). Представление информации с помощью двоичного алфавита называют двоичным кодированием. Закодировав таким способом информацию, мы получим её двоичный код.
Рассмотрим в качестве символов двоичного алфавита цифры 0 и 1. Покажем, что любой алфавит можно заменить двоичным алфавитом. Прежде всего, присвоим каждому символу рассматриваемого алфавита порядковый номер. Номер представим с помощью двоичного алфавита. Полученный двоичный код будем считать кодом исходного символа.
Если мощность исходного алфавита больше двух, то для кодирования символа этого алфавита потребуется не один, а несколько двоичных символов. Другими словами, порядковому номеру каждого символа исходного алфавита будет поставлена в соответствие цепочка (последовательность) из нескольких двоичных символов. Правило получения двоичных кодов для символов алфавита мощностью больше двух можно представить схемой на рисунке.
Двоичные символы (0,1) здесь берутся в заданном алфавитном порядке и размещаются слева направо. Двоичные коды (цепочки символов) читаются сверху вниз. Все цепочки (кодовые комбинации) из двух двоичных символов позволяют представить четыре различных символа произвольного алфавита:
Цепочки из трёх двоичных символов получаются дополнением двухразрядных двоичных кодов справа символом 0 или 1. В итоге кодовых комбинаций из трёх двоичных символов получается 8 – вдвое больше, чем из двух двоичных символов:
Соответственно, четырёхразрядный двоичный код позволяет получить 16 кодовых комбинаций, пятиразрядный – 32, шестиразрядный – 64 и т. д.
Длину двоичной цепочки – количество символов в двоичном коде – называют разрядностью двоичного кода.
Обратите внимание, что:
32 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 и т. д.
Здесь количество кодовых комбинаций представляет собой произведение некоторого количества одинаковых множителей, равного разрядности двоичного кода.
Если количество кодовых комбинаций обозначить буквой N, а разрядность двоичного кода – буквой i, то выявленная закономерность в общем виде будет записана так:
В математике такие произведения записывают в виде:
Запись 2 i читают так: «2 в i-й степени».
Задача. Вождь племени Мульти поручил своему министру разработать двоичный код и перевести в него всю важную информацию. Двоичный код какой разрядности потребуется, если алфавит, используемый племенем Мульти, содержит 16 символов? Выпишите все кодовые комбинации.
Чтобы выписать все кодовые комбинации из четырёх 0 и 1, воспользуемся схемой на рис. 1.13: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.
Универсальность двоичного кодирования
В начале нашей беседы вы узнали, что информация, представленная в непрерывной форме, может быть выражена с помощью символов некоторого естественного или формального языка. В свою очередь, символы произвольного алфавита могут быть преобразованы в двоичный код. Таким образом, с помощью двоичного кода может быть представлена любая информация на естественных и формальных языках, а также изображения и звуки (рис. 6). Это и означает универсальность двоичного кодирования.
Двоичные коды широко используются в компьютерной технике, требуя только двух состояний электронной схемы – «включено» (это соответствует цифре 1) и «выключено» (это соответствует цифре 0).
Простота технической реализации – главное достоинство двоичного кодирования. Недостаток двоичного кодирования – большая длина получаемого кода.
Равномерные и неравномерные коды
Различают равномерные и неравномерные коды. Равномерные коды в кодовых комбинациях содержат одинаковое число символов, неравномерные – разное.
Выше мы рассмотрели равномерные двоичные коды.
Примером неравномерного кода может служить азбука Морзе, в которой для каждой буквы и цифры определена последовательность коротких и длинных сигналов. Так, букве Е соответствует короткий сигнал («точка»), а букве Ш – четыре длинных сигнала (четыре «тире»). Неравномерное кодирование позволяет повысить скорость передачи сообщений за счёт того, что наиболее часто встречающиеся в передаваемой информации символы имеют самые короткие кодовые комбинации.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1.Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Переведите десятичное число 273 в двоичную систему счисления.
Воспользуемся алгоритмом перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:
1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.
2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.
Ответ: 27310= 100010001.
№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.
Четыре буквы латинского алфавита закодированы кодами различной длины:
Системы счисления
Неизбежный этап кодирования аналогового сигнала в совокупность импульсов (то есть в цифровую форму) требует перехода на двоичную систему счисления.
Код— это совокупность знаков (символов, цифр, букв, пиктограмм и т. п.) и система определенных правил, с помощью которых информация представляется (кодируется) в виде набора знаков в форме, удобной для передачи, обработки и хранения (или скрытия).
Если перейти от реальности, к цифровым технологиям, то понятно, что в компьютере никаких цветков, никаких животных, никаких материальных носителей кодовой информации нет и быть не может. В компьютерных технологиях все виды информации (например, изображения) кодируются только цифрами, или, точнее, числами.
Известно, что для записи произвольного числа прибегают к помощи систем счисления.
Количество знаков, которые обычно именуются цифрами, всегда ограничено. Чтобы преодолеть это ограничение, используется особый способ записи, который называется позиционным.
Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, зато позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры на математическом языке называется разрядом.
Выбор количества цифр диктуется какими-либо потребностями реальной жизни, науки или удобствами обработки. Исторически этот выбор определялся привычками или традициями конкретного народа. Наиболее привычной для нас является десятичная система счисления, благодаря наличию десяти пальцев рук.
Выбирая импульсный способ передачи информации, который, безусловно, обладает выигрышными достоинствами (выше уже упоминались помехоустойчивость и возможность проверки результата передачи), мы, тем не менее, должны платить за эти достоинства тем, что обрекаем себя на ограничение в использовании знаков.
Составим таблицу чисел, которые «состоят» из цифр «0» и «1».
С нуля начинается числовая ось натуральных целых чисел. Последующие целые числа получаются с помощью последовательного прибавления единицы к предыдущему числу.
| Десятичная система | Двоичная система |
| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 | 1000 и т.д. |
Таким образом, мы получаем возможность передавать любое десятичное число двоичными числами, а, следовательно, импульсным способом, т. е. определенным сочетанием импульсов (в этом состоит требование компьютерных технологий).
Заметно, что двоичные числа гораздо длиннее десятичных чисел. Для того чтобы двоичные числа было легче воспринимать и отображать, их сжимают в восьмеричную систему счисления, о которой также необходимо сказать несколько слов.
Но даже такие числа все-таки мало экономны, по крайней мере, их разрядность не уступает десятичной системе, поэтому в компьютерных технологиях применяется еще одна система счисления, которая называется шестнадцатеричной.
Представим числа в нескольких интересующих нас системах счисления, но не все числа, а только те, которые являются «круглыми» в одной из систем, таблица 2.
| Двоичная | Восьмеричная | Десятичная | Шестнадцатеричная |
| 10 = 2 1 | |||
| 100 = 2 2 | |||
| 10 = 10 1 | А | ||
| 1000 = 2 3 | 10 = 8 1 | ||
| 10 000 = 2 4 | 10 = 16 1 | ||
| 100 000 = 2 5 | |||
| 1000000 = 2 6 | 100 = 8 2 | ||
| 100 = 10 2 | |||
| 10000000 = 2 7 | |||
| 100000000 = 2 8 | 100 = 16 2 | ||
| 1000000000 = 2 9 | 1000 = 8 3 |
Формально в математике есть величины меньше двух, но в философии и в реальной жизни минимальной ячейкой является двоичная система.
Например, нельзя рисовать черным по черному (единичность), а требуется зрительный контраст (двоичность): в графическом произведении темное пятно имеет смысл, если окружено светлым пространством. Любая информация возникает только как результат противопоставления (оппозиционных отношений).
Поэтому и первичный элементарный алфавит должен состоять, как минимум, из двух элементов. Это фундаментальное свойство нашло свое отражение в понятии бита.
И таким же образом, как в математике рассматривается количество безотносительно качества, так же с точки зрения теории информации исключается качественное содержание информации и учитывается только количественное.
Обратим свое внимание на ряд десятичных чисел, которые равны «круглым» двоичным числам. В этот ряд входят следующие десятичные числа: «2», «4», «8», «16», «32», «64», «128», «256», «512» и «1024». Все эти числа представляют ряд последовательных степеней числа «2». Каждое из названных чисел активно используется в компьютерных технологиях.
Десятичное число «2» может быть записано различными способами в зависимости от разрядности двоичного числа: как «10», если разрядность равна двум; как «0010», если разрядность равна четырем; как «00000010», если разрядность равна восьми.
Для получения большего количества кодов, разумеется, единственный путь состоит в увеличении разрядности двоичного числа (его удлинении). Это заставляет вспомнить и применить позиционный метод записи чисел.
Если рассматривать самый общий случай, как это принято в математике, то можно утверждать, что, используя небольшое конечное количество цифр (не менее двух) и позиционный метод записи, можно получить бесконечное количество чисел. Но у двоичных чисел, поскольку они применяются в компьютерных технологиях, есть одна особенность: двоичные числа, как правило, формируются с фиксированной разрядностью. Такая совокупность разрядов получила название «слов».
Двоичное слово— последовательность битов, рассматриваемых как единое целое, имеющая определенное смысловое значение (в соответствующем кодовом алфавите).
В слове, равном одному байту, — восемь двоичных разрядов, и десятичное число «2» записывается в двоичной системе счисления следующим образом: 00000010. Слово может быть равно двум и более байтам, поэтому то же число может получить и такой вид: 00000000 00000010. Это означает, что если число занимает меньше значимых разрядов, чем отведено для его записи, как в данном примере, то все предыдущие разряды заполняются нулями. И поскольку эти нули занимают старшие разряды, они действительно не имеют значения.
Сначала необходимо рассчитать объем этой таблицы, исходя из количества двоичных разрядов.
Эту задачу по расчету количества кодов стоит обсудить подробнее, поэтому с целью упрощения моделируем ситуацию кодирования чисел с помощью электрических лампочек. Каждая лампочка представляет собой разряд двоичного числа.
Сколько отдельных кодов можно смоделировать с помощью одной лампочки? Совершенно очевидно, что она может иметь только два состояния: «горит» или «не горит». И других состояний быть не может.
Рассмотрим все возможные комбинации.
Первый сигнал: обе лампочки выключены.
Второй сигнал: включена только одна лампочка слева.
Третий сигнал: включена только одна лампочка справа.
Четвертый сигнал: обе лампочки включены.
Следовательно, когда приходится использовать две лампочки (или два двоичных разряда), всегда получаются четыре кода, рисунок 3.
| Номер по порядку | Двоичный код | Номер по порядку | Двоичный код |
В результате получилось восемь кодов, которые представляют диапазон от «все лампочки погашены» до «все лампочки горят».
Итак, каждое последующее количество кодов больше предыдущего в два раза. Это означает, что количество разрядов является степенью при основании «двойки». Если значение степени равняется количеству разрядов, то общее количество кодов можно вычислить по чрезвычайно простой формуле:
С помощью приведенной формулы всегда можно определить, сколько потенциальных кодов получается в случае использования определенного количества разрядов. Отсюда можно поставить обратную задачу: как рассчитать количество разрядов, если известно количество кодов, которое необходимо обеспечить для кодирования известной совокупности данных.
Количество разрядов можно вычислить по формуле, обратной рассмотренной ранее (N = 2n). Для степенной зависимости обратной является логарифмическая функция:
п = log2N,
В действительности человек формирует системные представления об окружающем мире. Причем, очень многие элементы этой системы являются знаками. Знаки бывают естественными и искусственными.
Естественные системы знаков связаны с закономерностями, которые открыты и описаны физикой, химией, биологией, геологией и другими точными науками, а также дополнены эмпирическими наблюдениями о природе.
Искусственные системы знаков целиком создаются людьми. Скажем, к искусственным знакам можно отнести знаки письменности, пиктограммы, сигналы дорожного движения и многое другое.
Если строго определены элементы кодового алфавита и разрядность слов, получаемых с их помощью, то количество всех кодов можно вычислить, а, следовательно, составить их перечень в форме кодовой таблицы.
Таким образом, в кодовой таблице представлено определенное количество строк и только два столбца:
Первая проблема, которую предстоит решить, заключается в том, чтобы определить количество строк, т. е. сначала надо задаться количеством разрядов, как это выяснилось в предыдущем разделе. Прежде всего, следует располагать предварительной информацией о количестве значений, которое предстоит кодировать. Если кодируется только два значения, например «да» и «нет» или «черное» и «белое». Т. е. такую информацию, которая состоит из двух сообщений, то потребуется всего один разряд (один бит), а соответствующая кодовая таблица будет состоять из двух строк, таблица 4.
| Двоичные коды | Значения кодов |
| Да | |
| Нет |
Простота этой таблицы определяется тем, что в ней используются только элементы кодового алфавита. Если значений, которые надо кодировать, оказывается больше, чем два, то в этом случае элементы алфавита составляются в «слова», длина которых определяется разрядностью.
Например, если для кодирования требуется добавить значение, которое иногда присутствует в анкетах «Не знаю!», то одного разряда окажется недостаточно. Мы уже эту ситуацию обсуждали и знаем, что необходимо задействовать два разряда.
Код «11» обязательно присутствует в таблице, хотя и не используется в данном случае, но, может быть, этому коду в другой ситуации найдется применение.
| Двоичные коды | Значения кодов |
| Да | |
| Нет | |
| Не знаю | |
| Не используется |
Длина кодовой таблицы может быть произвольной, т. к. она определяется объемом информации, которая требует кодирования, хотя может быть ограничена возможностями технической реализации.
Следует отметить, что пользователям, которые применяют готовые технологии (программные приложения, общепринятые форматы и режимы), такими расчетами заниматься не приходится, поскольку давно разработаны стандартные кодовые таблицы. Вместе с тем, их ограничения, как правило, вызывают неприятие у лиц, которые не знакомы с особенностями логики, лежащей в основе компьютерных технологий. Например, художнику может быть совершенно непонятно, почему в компьютерных технологиях принято 256 градаций тона (подробнее об этом будет рассказано в разделе Растровая графика), а, например, не 7 или 100.
Самый общий принцип заполнения столбца кодовой таблицы, который называется «значения», можно сформулировать так: он заполняется произвольной информацией в произвольном порядке. Значения кодовой таблицы определяются логикой предметной области.
В принципе можно принять любую систему, даже с полным отсутствием какой бы то ни было очевидной логики. Другой вопрос, будет ли такая кодовая таблица рациональной, удобной и универсальной.
Предположим, что необходимо закодировать четыре ахроматических цвета: белый, черный, темно-серый, светло-серый. Каким образом станем действовать? С точки зрения левого (числового) столбца кодовой таблицы проблема решается просто: для четырех значений требуется четыре кода, а для формирования четырех двоичных кодов (двоичных чисел) идеально подходят два разряда (диапазон от «00» до «11»).
Совершенно не очевидно, какой код правильнее присвоить, например, черному цвету. Логика присвоения носит произвольный характер, она не вызвана какими-либо однозначными закономерностями. В качестве примера, видимо, вполне рационально присвоить коды, начиная с белого и заканчивая черным. В системе RGB черному цвету присваивается нулевое значение. И там есть определенная логика, о которой речь пойдет позже.